Методы идентификации технических объектов

В основе всех весьма многочисленных методов идентификации лежит идея эксперимента с «черным ящиком», которая была введена в оборот Нобертом Винером и обстоятельно развита Россом Эшби.

Идентификация является инструментом моделирования тех объектов, которые из-за сложности или недостаточной изученности, а также из-за обилия случайных факторов не могут быть исследованы на основе существующих теоретических представлений. С помощью определенных вычислительных средств и программного обеспечения (алгоритма идентификации) строится модель объекта.

На принципиальной схеме идентификации (рис. 4.3) приведены результаты наблюдений за входами x₁, x₂, …, x_n и выходами y₁, y₂, …, y_m объекта, и по ней с помощью алгоритма идентификации строится модель объекта.

В предельном (теоретическом) случае «черный ящик» представляет собой некоторую систему, о структуре и внутренних свойствах которой неизвестно решительно ничего. Зато входы, т. е. внешние воздействия (факторы), и выходы, представляющие собой реакции на внешние воздействия, доступны для наблюдения (измерений) в течение неограниченного времени. Задача идентификации заключается в том, чтобы по наблюдениям за входами и выходами выявить внутренние свойства объекта или, иными словами, построить его модель.

Решение задачи допускает применение двух различных стратегий.

Рис. 4.3. Принципиальная схема идентификации объекта

В первом случае осуществляется так называемый активный эксперимент, когда на вход объекта подаются специально сформированные тестовые воздействия, характер и последовательность которых определяется заранее разработанным планом. Подобный подход обладает тем преимуществом, что за счет оптимально спланированного эксперимента позволяет получить необходимую информацию о свойствах и характеристиках объекта при минимальном объеме экспериментальных данных и соответственно при минимальной трудоемкости опытных работ. Однако цена, которую приходится платить за это преимущество, достаточно высока – объект выводится из его обычного состояния, что на практике далеко не всегда возможно по принципиальным и экономическим соображениям.

Альтернативный подход заключается в том, что проводится пассивный эксперимент. Объект исследования не подвергается искусственным возмущениям и функционирует в своем естественном режиме, но при этом организуются систематические измерения и регистрации значений его входных и выходных переменных. Обработка полученных подобным путем данных в принципе позволяет получить ту же самую информацию о свойствах объекта, что и при активном эксперименте, однако необходимый объем данных существенно (на два-три порядка) больше, чем в первом случае. Естественно, что и алгоритмы обработки данных оказываются более сложными и громоздкими.

Отметим, что на практике при построении идентифицируемых моделей часто целесообразна смешанная стратегия эксперимента. По тем входным переменным объекта, которые это допускают (по условиям безопасности, техническим, экономическим соображениям и пр.), проводится активный эксперимент. Его результаты дополняются данными пассивного эксперимента, охватывающего все прочие значимые переменные. Опыт показывает, что такой подход заметно снижает трудоемкость исследований по сравнению с методикой пассивного эксперимента в чистом виде.

Ситуация «черного ящика» представляет собой теоретический граничный случай, когда о структуре объекта неизвестно абсолютно ничего. На деле исследователь всегда располагает той или иной априорной информацией об объекте идентификации, часть которой вполне достоверна (например, действие закона сохранения и других универсальных закономерностей), часть (например, сведения о структуре объекта) может носить гипотетический характер. Объем информации зависит от характера конкретной задачи и свойств объекта моделирования. Он может варьироваться в очень широких пределах, но сам факт наличия исходной информации обязателен – иначе будет невозможна осознанная постановка задачи исследования. Поэтому на практике приходится иметь дело не с «черным ящиком», а с «серым», отчасти «прозрачным» ящиком, причем можно указать три более или менее типовых уровня «прозрачности» и, следовательно, три основных класса постановки задачи идентификации объекта.

В первом, наиболее общем случае, типичном для весьма сложных и слабо изученных объектов системного характера (экологические системы, экономические процессы больших масштабов и пр.), достоверные исходные данные о внутренних свойствах и структурных особенностях объекта исчезающе малы, почти отсутствуют. Поэтому задача идентификации, казалось бы, должна включать в себя, с одной стороны, определение зависимостей, связывающих входы и выходы, с другой стороны – определение внутренней структуры объекта. Однако в такой постановке эта задача неразрешима даже теоретически.

Дело в том, что непосредственным результатом идентификации объекта является только определение зависимостей входы–выходы, причем в непараметрической форме: в виде таблиц или отображающих содержание этих таблиц кривых. Для того чтобы говорить о структуре модели, необходимо перейти к параметрической форме их представления. Однако, как известно, однозначной связи между функциональной зависимостью и порождающей эту зависимость математической структурой не существует. Каждую непараметрическую зависимость вход–выход можно аппроксимировать различными способами и соответственно построить ряд практически равноценных моделей объекта, характеризующихся собственной структурой, собственным набором параметров и их значений.

Основанием для предпочтения той или иной параметрической модели и, следовательно, фиксации модельной структуры идентифицируемого объекта могут быть только данные, внешние по отношению к процессу идентификации, полученные, например, из теоретических соображений. Если таких данных нет, то в рассматриваемой ситуации мы получаем чисто функциональную модель, которая воспроизводит с тем или иным приближением характеристики объекта, но не содержит никакой информации о его реальной структуре.

Следует отметить, что это обстоятельство, существенно ограничивающее возможности идентифицируемых моделей применительно к задачам исследования сложного объекта, далеко не всегда следует рассматривать как недостаток. Например, в задачах автоматического управления, для которых существенны именно функциональные характеристики объекта, возможность отвлечься от его реальной структуры позволяет воспроизводить необходимые характеристики объекта управления с помощью простейших одношаговых итеративных алгоритмов, которые заведомо не соответствуют протекающим в объекте реальным явлениям, но позволяют наиболее рациональным образом организовать вычислительный процесс на ЭВМ. Любопытно, что идентифицируемые модели этого класса нередко используют и в тех случаях, когда объект в принципе поддается аналитическому описанию, но последнее получается чрезмерно сложным, громоздким и неудобным для анализа. Опыт показывает, что сознательное абстрагирование от реальной структуры подобных объектов и переход к идентификации их функциональных характеристик позволяют получить вполне обозримые компактные модели, которые с достаточной точностью описывают свойства сложного объекта-оригинала.

Второй класс задач идентификации характеризуется тем, что априорные данные о структуре моделируемого объекта, полученные теоретическим путем или определенные из конструктивных соображений, в принципе имеются. Однако какой вклад в характеристики объекта или его модели вносит тот или иной структурный компонент, наперед неизвестно, и это надлежит определить на основе эксперимента наряду со значениями соответствующих параметров. Задачи этого класса, связанные с уточнениями структуры и оцениванием параметров, часто встречаются на практике и характерны для объектов и процессов средней сложности, в частности технологических, когда определенные теоретические сведения о процессе имеются, но они неполны и носят в какой-то мере гипотетический характер, так что полное аналитическое описание объекта только на основании этих данных невозможно.

Третий класс задач связан с относительно простыми и хорошо изученными объектами, структура которых известна точно, и речь идет только о том, чтобы по экспериментальным данным оценить значения всех или некоторых входящих в исследуемую структуру параметров (параметрическая идентификация). Примером такой идентификации является определение параметров четырехполюсника A, B, C, D в уравнениях

которые представляют собой модели таких объектов ЭЭС, как ЛЭП, трансформатор и пр.

Задача экспериментального оценивания или уточнения значений параметров модели возникает при исследовании подавляющего большинства реальных объектов, даже несложных и хорошо изученных.

Общую структурную схему идентификации можно представить, как показано на рис. 4.4.

Независимо от характера решаемой на основе идентификации объекта-оригинала задачи построение модели этого класса базируется на результатах измерений соответствующих величин переменных, с чем связано два существенных обстоятельства.

Во-первых, эксперимент должен быть обеспечен необходимыми средствами измерения надлежащей точности (датчиками, преобразователями, приборами). Опыт показывает, что при идентификации даже несложных, но типовых объектов, создание измерительного комплекса, прежде всего в части первичных преобразователей (датчиков) и их привязки к объекту, часто перерастает в серьезную техническую проблему. Необходимые разработки специализированных средств измерения и их компонентов, следовательно, и проведение соответствующих опытно-конструкторских работ являются в подобных случаях скорее правилом, чем исключением, а это, естественно, усложняет работы и увеличивает их стоимость.

Рис. 4.4. Структурная схема идентификации объекта

Во-вторых, используемый в процессе эксперимента измерительный комплекс со всеми его компонентами требует материального обеспечения, т. е. градуировки, аттестации и периодической проверки в соответствии с нормативно узаконенным требованием. Реальная ситуация с метрическим обеспечением экспериментальной аппаратуры зависит от характера величин, подлежащих измерению в каждом конкретном случае.

Таким образом, даже при условии вполне современного технического и технологического оборудования путь от принципиальной возможности построения модели на основе идентификации до практической реализации этой возможности в большинстве случаев оказывается длинным, сложным и трудоемким. Кроме того, проведение одного эксперимента само по себе не может требовать значительных затрат, и в этом случае возникает необходимость сокращать число возможных опытов в эксперименте без ущерба для точности математической модели. Во многих случаях этому помогает оптимальное планирование эксперимента.

4.4. Выбор структуры математической модели
и вычисление ее параметров

Непосредственными результатами наблюдений (опытов) в процессе проведения эксперимента являются зависимости между входами x и выходами y, представленные, как правило, в табличной форме. Построение математической модели в параметрической форме требует обработки табличных данных. При этом следует учесть, что экспериментальные данные могут содержать систематические, случайные и грубые погрешности. Обычно погрешности измерений принято представлять в виде среднеквадратической погрешности σ и двумя границами интервала, в пределах которого истинное значение измеряемого параметра находится с заданной вероятностью (Δ_i, Δ_h).

На первом этапе построения математической модели необходимо выбрать вид (структуру) математической модели. Второй этап требует специальных вычислительных средств для определения параметров выбранной математической модели. Рассмотрим общий подход к подбору вида математической модели без использования каких-либо теоретических представлений о внутренней структуре моделируемого объекта. В математике такая задача носит название задачи о приближении функций. Для простоты примем объект с одним входом x и одним выходом y.

Пусть на некотором множестве задана система функций φ₀(x), φ₁(x), …, φ_m(x), которые в дальнейшем будем считать достаточно гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми) функциями. Назовем эту систему основной.

Функции вида

где c₀, c₁, …, c_m – постоянные коэффициенты, называются обобщенными многочленами порядка m. В частности, если основная сис-
тема состоит из целых неотрицательных степеней переменной x, т. е. φ₀(x) = 1, φ₁(x) = x, …, φ_m(x) = x^m, то

есть обычный полином степени m.

Если

то

называется тригонометрическим полиномом (или тригонометрическим многочленом) порядка m.

Задача о приближении функций ставится следующим образом: данную функцию f(x) требуется заменить обобщенным многочленом Q_m(x) заданного порядка m так, чтобы отклонение (в смысле σ или
(Δ_i, Δ_h)) функции f(x) от обобщенного многочлена Q_m(x) на указанном множестве {x} было наименьшим. При этом многочлен Q_m(x) в общем случае называется аппроксимирующим.

Если множество {x} состоит из отдельных точек x₀, x₁, …, x_n,
то приближение называется дискретным. Если же {x} есть отрезок
a ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным.

На практике часто пользуются приближениями функций обычным и тригонометрическим полиномами.

В теории дискретного приближения функций имеет место задача интерполяции функций. В случае обычного полинома задача интерполяции формулируется следующим образом. Для данной функции f(x) найти полином Q_m(x) возможно низшей степени m, принимающей в заданных точках x_i (i = 0, 1, 2, …, n; x_i ≠ x_j при i ≠ j) те же значения, что и f(x), т. е. такой, что Q_m(x_i) = f(x_i) (i = 0, 1, 2, …, n). Такой полином называют интерполяционным, а точки x_i (i = 0, 1, 2, …, n) – узлами интерполяции.

Как известно, существует единственный полином степени не выше n, принимающий в точках x_i (i = 0, 1, 2, …, n) заданные значения. Поэтому можно положить n = m. Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n полинома Q_n(x) можно определить из системы уравнений:

где

y_i = f(x_i) (i = 0, 1, 2, …, n).

Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений есть так называемый определитель Вандермонда Δ ≠ 0, и, следовательно, система (4.11) имеет единственное решение.

Интерполяция дает возможность вычислить значения функции y =
= f(x) между заданными точками x_{i – 1} и x_i (i = 1, 2, …, n).

Пример 3. Выполним интерполяцию функции, заданную в табличной форме в пяти точках (см. ниже). Расчеты выполним в системе Mathcad.

Векторы данных:

Заполнение матрицы X:

Получение коэффициентов интерполяционного полинома:

Определение функции полинома:

График функции для интерполирующего полинома:

Определим значение функции в промежуточных точках со значениями 0,2 и 0,5.

Для сравнения выполним интерполяцию по тем же данным другими способами, заложенными в Mathcad; кусочно-линейной и сплайн-интерполяцией.

Графики интерполяционных функций:

Значения в заданных точках:

· для полиномиальной

· для линейной

· для сплайн-интерполяции

Результаты вычислений в промежуточных точках достаточно сильно различаются между собой, и принятие той или иной модели может основываться на данных, внешних относительно использованных измерений.

Интерполяция является частным случаем аппроксимации, когда степень интерполяционного полинома равна числу измерений без единицы и n = m (число измерений равно n + 1, а число неизвестных коэффициентов модели равно m + 1). Когда n > m, в общем случае имеем задачу аппроксимации.

Для данной функции f(x) найти полином Q_m(x) степени m, который в заданных точках x_i (i = 0, 1, 2, …, n; x_i ≠ x_j при i ≠ j) доставляет минимум некоторой функции коэффициентов a_i (i = 0, 1, 2, …, m): S_m(a₀,
a₁, …, a_m). Такой полином называют аппроксимирующим. В общем случае Q_m(x) есть обобщенный многочлен вида (4.7).

Функцию S_m(a₀, a₁, …, a_m) можно выбрать в соответствии с методом наименьших квадратов как сумму квадратов отклонений полинома Q_m(x) от функции f(x_i) на заданном множестве точек

Такой способ носит название квадратичной аппроксимации.

коэффициенты аппроксимирующего полинома Q_m(x) вычисляют посредством решения системы линейных уравнений:

где

y_i = f(x_i) (i = 0, 1, 2, …, n) и верхний индекс T означает операцию транспонирования матрицы.

Система уравнений (4.13) получена дифференцированием критерия квадратичной аппроксимации (4.12) по искомым коэффициентам и приравниванию нулю полученных выражений. В случае обобщенного полинома (4.7) с произвольными функциями φ₀(x), φ₁(x), …, φ_m(x) в системе уравнений (4.13) вместо значений степеней x требуется подстановка значений соответствующих функций φ₀(x), φ₁(x), …, φ_m(x), вычисленных в заданных точках x.

Пример 4. Выполним аппроксимацию функции из примера 3 полиномами степени 3 и 2.

Для Q₃(x)

Заполнение матрицы X:

Получение коэффициентов аппроксимирующего полинома Q₃(x):

Определение функции полинома:

График функции для аппроксимирующего полинома Q₃(x):

Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:

Для Q₂(x)

Заполнение матрицы X:

Получение коэффициентов аппроксимирующего полинома Q₂(x):

Определение функции полинома:

График функции для аппроксимирующего полинома Q₂(x):

Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:

Пример 5. Выполним аппроксимацию данных, приведенных в табличной форме (см. ниже) в виде обобщенного многочлена Q₂(x) = c₀φ₀(x) + c₁φ₁(x) +
+ c₂φ₂(x), где функции φ_i(x) (i = 0, 1, 2) выбраны в виде

Данные эксперимента и вектор функция составляющих Q₂(x):

Вектор коэффициентов модели вычислим с помощью специальной функции Mathcad linfit(x, y, F)

Функция обобщенного многочлена и ее график:

Среднеквадратическая ошибка:

Существуют модели, которые не являются многочленами вида (4.7) и нелинейно зависят от параметров, как, например, функция

.

Здесь y нелинейно зависит от параметров a и b. К некоторым функциям такого вида применимо приведение нелинейной задачи к линейной по следующему способу.

Пусть задана система точек M_i(x_i, y_i). Вводятся новые переменные X и Y так, чтобы преобразованные точки N_i(X_i, Y_i) лежали на одной прямой. Например, степенная зависимость y = cx^a посредством логарифмирования приводится к линейной:

и линейная модель в новых координатах:

Здесь N_i(X_i, Y_i) = N_i(lg x_i, lg y_i). Некоторые функции, которые приводятся к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации, представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Некоторые функции, допускающие преобразование к линейной
относительно коэффициентов задаче аппроксимации

№ п/п	Исходная функция	Линейная функция	Соотношения для преобразования
	y = axb	Y = α + bX	Y = lg y; X = lg x; α = lg a
	y = abx	Y = α + βx	Y = ln y; α = ln a; β = ln b

В тех случаях, когда невозможно перейти к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации, выводятся подобные (4.13) нелинейные уравнения аналогичным способом, и их решение дает искомые коэффициенты.

Вопросы для самопроверки

1. Какие основные этапы можно выделить в модельном исследовании (построении модели)?

2. Какие существуют два основных способа формирования модели?

3. В чем заключается аналитический способ построения модели?

4. В чем заключается задача идентификации технических объектов?

5. Какой эксперимент называют активным; пассивным?

6. Какие выделяют три класса задачи идентификации технических объектов?

7. Как формулируется задача интерполяции функций?

8. Как формулируется задача аппроксимации функций?

9. Как вычислить коэффициенты полинома степени m при квадратичной аппроксимации?

10. Какие функции допускают приведение задачи приближения функций к линейной ?