Классическая вероятность
Задача. Определить вероятность ничьей в турнире из 4-х встреч двух равносильных игроков (команд), если ничьи в отдельной встрече не допускаются (пенальти, дополнительное время и т.п.).
Поскольку противники равносильные, количество встреч четно и каждая из них может закончиться только победой или поражением, то внутренний голос достаточно уверенно нашептывает про ½ или 50%. Чтобы доказать правильность этого интуитивного ответа или опровергнуть его перечислим все мыслимые исходы матча и отберем среди них благоприятные. Заметим, что достаточно рассматривать итоги встреч с позиции только одного игрока, т.к. его победа означает поражение противника и наоборот. Возьмем одного игрока, условно называемого первым, и опишем его победу цифрой “1”, а поражение - ”0”. Знаки в кавычках могут рассматриваться как числа или символы. Теперь можно составить таблицу с перечислением всех мыслимых исходов турнира. Первая строка первого столбца таблицы отвечает наиболее желаемому исходу турнира первого игрока - его победе во всех 4-х встречах. Далее в первом столбце идут игры с одним поражением в первой, второй и т. д. встречах. Второй столбец описывает игры с ничьей по итогам всех 4-х встреч. В трех первых строках последнего столбца обозначена только одна победа и в его последней строке стоит сокрушительный сухой разгром первого игрока. Всего в таблице 16 равновозможных и несовместных исходов, среди которых 6 благоприятных для ничьей по итогам турнира (средний столбец). Теперь, следуя правилу вычисления классической вероятности, найдем вероятность ничьей Р(“ничья”)= , т.е. свести вничью турнир с четным числом встреч двум равносильным противникам менее вероятно нежели выиграть или проиграть. Полученный результат изначально вовсе не очевиден и свидетельствует, что интуиция нас изрядно подвела, поскольку относительная ошибка составила (
-
)/
=
= 33,3%.
1 1 1 1 | 0 0 1 1 | 0 0 0 1 |
0 1 1 1 | 0 1 0 1 | 0 0 1 0 |
1 0 1 1 | 0 1 1 0 | 0 1 0 0 |
1 1 0 1 | 1 0 0 1 | 1 0 0 0 |
1 1 1 0 | 1 0 1 0 | 0 0 0 0 |
1 1 0 0 |
При наличии такой таблицы нетрудно рассчитать вероятности других возможных результатов матча. Например:
Р(“выиграть”)= =Р(“проиграть”),
Р(“не проиграть”)= =Р(“не выиграть”),
Р(“выиграть всухую”)= = Р(“проиграть всухую”),
Р(“выиграть хотя бы один раз”)= =Р(“проиграть хотя бы один раз”).
Здесь наблюдается своеобразная симметрия рассмотренных событий. Уместно отметить также, что противоположным к “выиграть” является не “проиграть”, а “не выиграть”. Сумма именно этих исходов является достоверным событием, а сумма их вероятностей равна 1.
Задача. Найти вероятность выпадения двух орлов и хотя бы одного орла в двух бросаниях монеты. Поскольку орел ”О” и решка ”Р” события равновозможные Р(О)=Р(Р)=0.5, то применима схема классической вероятности, в соответствии с которой
Р(ОО)=Р(О)Р(О)= , Р(О+О)=Р(
)=1-Р(РР)=1-
=
.
Тот же результат даст таблица возможных исходов, которая применима в силу равновозможности выпадения орла и решки.
Условная вероятность
Задача. Какова вероятность из урны с 6 белыми и 3 черными шарами извлечь первым черный, а вторым белый шар.
В соответствии со схемой условной вероятности расчет производится по формуле
Р(А)=Р(БЧ)=Р(Б|Ч)Р(Ч)= ·
=
=25 %.
Задача. При усложнении предыдущей задачи условием достать третьим черный шар искомой оказывается вероятность произведения событий ЧБЧ, которое мы препарируем следующим образом
Р(ЧБЧ)=Р(Ч|БЧ)Р(БЧ)=Р(Ч|БЧ)Р(Б |Ч)Р(Ч)=
·
·
=
·
=
≈7 %.