Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли)

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

μi
P	p	q

, (т.к. ).

(т.е. дисперсия ограничена ).

μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва .

.

.

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.

b2,…, bn2, n3 элементов k-ой группы x1, x2,…, xnk можно составить ровно n1∙ n2∙…∙nk различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы. 1. При k=2 утверждение выполняется (Лемма 1). 2. Предположим, что Лемма 2 выполняется для k. Докажем для k+1 группы элементов . Рассмотрим комбинацию как и . Предположение дает возможность вычислить число комбинаций из k элементов, их n1 n2 nk. По Лемме 1 число комбинаций из k+1 элементов n1 n2… nk+1. Пример. При бросании двух игральных костей N=6∙6=36. При бросании трех костей N=6∙6∙6=216. Леммы 1 и 2 называются основными правилами комбинаторики. Пусть имеется множество из n элементов a1, a2 ,an. Будем рассматривать выборку объема k из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам: 1. упорядоченные и неупорядоченные. 2. с возвращением и без возращения. Если выборка упорядоченная, то выборки с одним и тем же составом выбранных элементов, но разным порядком элементов в выборках, считаются различными. Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элементов

Чебышёва: Для . . {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} . Таким образом, . Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва). Пусть Х1,Х2,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел. Обозначим через . Нужно доказать, что . .

отождествляются. Пример. Возьмем множество из трех элементов {1,2,3}. Выбираем k=2. (1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3); (1,1);(1,2);(1,3); (2,2);(2,3); (3,3); С возвращением (1,2);(1,3); (2,1);(2,3); (3,1);(3,2); (1,2);(1,3); (2,3); Без возвращения упорядоченная неупорядоченная выборка Составим общую таблицу числа выборок: С возвращением Без возвращения упорядоченная Неупорядоченная Выборка Упорядоченная выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения . o Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений . Пример. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

Свойство 3.данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е. . Свойство 4.Если М , характеристическая функция случайной величины n раз дифференцируема, причем , где . Замечание. Необходимо отметить, что функция распределения величины однозначно определяется характеристической функцией. Таким образом, характеристическая функция является законом распределения случайной величины.   § 24. Законы больших чисел.   0. 1Последовательность случайных величин Х1, Х2,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если для любого положительного числа , т.е. при . Обозначается . 0. 2 Говорят, что последовательность случайных величин Х1, Х2,… удовлетворяют закону больших чисел, если . Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство

n=113. , . o Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Pk-число перестановок из k элементов. , поскольку 0!=1. o Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через . . , где . . Свойства сочетаний: 1. . 2. . 3. . 4. .

Равномерное , Равномерное , Показательное , Нормальное распределение Наши рекомендации Глава III. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли Закон больших чисел и центральная предельная теорема Теорема Чебышева (закон больших чисел) Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Неравенство и теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел. Закон больших чисел в форме Бернулли Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли) ← Предыдущая страница | Следующая страница →