Потенциальная энергия упругой деформации

Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует сила потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru . Эта сила совершает работу на перемещении потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru , а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru . Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования: потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru . Величина Ф=dU / dV называется удельной потенциальной энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Рис.3. Расчетная схема энергии деформации

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Рис.4. Линейный закон сопротивления потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

При одновременном действии напряжений потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru , потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru и потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru на главных площадках (т. е. при отсутствии касательных напряжений) потенциальная энергия равна сумме работ, совершаемых силами потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru на соответствующих перемещениях потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru . Удельная потенциальная энергия равна

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru .

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Рис.5. Расчетная схема сдвигаемой энергии

В частном случае чистого сдвига в плоскости Оху, изображенном на рис. 5, сила потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru совершает работу на перемещении потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru . Соответствующая этому случаю удельная потенциальная энергия деформации равна

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Подобные соотношения будут иметь место при сдвиге в других плоскостях.

В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru (11)

Если деформации выразить через напряжения с помощью соотношений упругости (5) и (6), то получим эквивалентную (11) форму записи через компоненты тензора напряжений

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru (12)

Выразив напряжения через деформации с использованием соотношений (6) и (10), получим еще одну форму записи для Ф — через компоненты тензора деформаций

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Еще одну форму записи для удельной потенциальной энергии деформации получим, разложив тензоры напряжений и деформаций на шаровые тензоры и девиаторы. В результате (11) можно привести к одной из форм



потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru (13)

Здесь введены обозначения для потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru — интенсивности касательных напряжений и потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru — интенсивности деформаций сдвига, которые выражаются через вторые инварианты потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru и потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru девиаторов тензора напряжений и тензора деформаций следующим образом:

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Первые слагаемые в (13) соответствуют произведению шаровых составляющих тензоров напряжений и деформаций, а вторые — произведению девиаторных составляющих. Так как шаровой тензор характеризует изменение объема, а девиатор — изменение формы, то соотношения (13) можно интерпретировать как разложение удельной потенциальной энергии на две составляющие: Ф=Ф0ф, где Ф0 соответствует изменению объема без изменения формы, а Фф — изменению формы без изменения объема. Первая составляющая будет вычисляться через компоненты тензора напряжений следующим образом:

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru (14)

Удельную потенциальную энергию изменения формы проще найти не через интенсивность касательных напряжений, а как разностьФ — Ф0. Вычитая (14) из (12), после преобразований получим

потенциальная энергия упругой деформации - student2.ru

Лекция № 9. Механические характеристики конструкционных материалов

Механические характеристики определяются следующими факторами:

  • веществом, его структурой и свойствами;
  • конструктивными особенностями элемента, т. е, размерами, формой, наличием концетраторов, состоянием поверхности;
  • условиями при нагружении: температурой, скоростью, повторяемостью нагрузки и др.

Конструкционные материалы в процессе деформирования вплоть до разрушения ведут себя по разному. Пластичное поведение характеризуется существенным изменением формы и размеров, при этом к моменту разрушения развиваются значительные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки. Такие материалы называют пластичными. При хрупком поведении разрушение наступает при весьма малых деформациях, и материалы с такими свойствами называют хрупкими. Однако одни и те же конструкционные материалы, находящиеся в различных условиях деформирования, ведут себя по разному: при одних условиях проявляют себя как пластичные материалы, при других—как хрупкие. В связи с этим, основные макромеханические характеристики материалов — упругость, пластичность, вязкость и др. правильнее относить не к их свойствам, а к состояниям материала.

Наши рекомендации