Синусоидальные токи в пассивных элементах

Все законы и методы расчета цепей постоянного тока применимы к цепям переменного тока, с учетом того, что напряжения, токи и сопротивления в общем случае выражаются комплексными числами. Закон Ома для цепи переменного тока имеет вид:

(2.7) , где

- комплексное сопротивление, называемое «импеданс».

По способности элемента усиливать электрическую мощность сигнала различают активные элементы, которые усиливают мощность сигнала, и пассивные, которые потребляют. В свою очередь пассивные элементы (R, L, C) делятся на два типа.

Резистор представляет собой чисто активное сопротивление. Фазы напряжения и тока для резистора совпадают.

Конденсатор и катушка индуктивности являются реактивными сопротивлениями, они вносит сдвиг фаз между векторами напряжения и тока.

1) Резистор. Если к источнику гармонического напряжения, мгновенное значение которого выражается уравнением (2.1) подключен резистор с сопротивлением R, то ток по закону Ома определим в виде:

, где

(2.8)

В цепи переменного тока сопротивление резистора чисто активное, напряжение и ток в резисторе совпадают по фазе, закон Ома справедлив для мгновенных, амплитудных и действующих значений гармонического сигнала.

Мощность, выделяющаяся на резисторе:

2) Конденсатор. При протекании тока через конденсатор, на конденсаторе накапливается заряд и возрастает напряжение. При постоянном токе

(2.9)

Если конденсатор включен в цепь переменного тока с напряжением

то ток можно определить, выражая из формулы (2.9) ток, и учитывая, что он не является постоянным:

Определим сопротивление конденсатора, каким он обладает в цепи переменного тока

(2.10)

При возрастании тока через конденсатор процесс нарастания напряжения сопровождается инерцией. Фаза напряжения на конденсаторе отстает от фазы тока на 90 градусов. В цепи переменного тока конденсатор обладает сопротивлением, которое уменьшается с увеличением частоты. На нулевой частоте модуль сопротивления конденсатора стремится к бесконечности. Для постоянного тока конденсатор создает разрыв цепи. Увеличение емкости уменьшает модуль сопротивления конденсатора на переменном токе.

3) Катушка индуктивности также является реактивным сопротивлением и вносит сдвиг фаз между векторами напряжения и тока. Если приложить к катушке напряжение, то возникновение тока будет связано с появлением и нарастанием магнитного поля, и будет сопровождаться инерцией. В цепи переменного тока катушка обладает сопротивлением

. (2.11)

Модуль комплексного сопротивления индуктивности возрастает при увеличении частоты. В цепи постоянного тока модуль сопротивления равен нулю, что равносильно замыканию цепи.

4) Делитель напряжения. Коэффициент передачи электрической цепи на переменном токе в общем случае комплексный. Комплексный коэффициент передачи делителя напряжения (Рис.2.3) равен:

Если подать на вход гармонический сигнал, то на выходе будем иметь также гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда и начальная фаза изменятся. Выразим комплексный коэффициент передачи как отношение выходного сигнала к входному.

Окончательно получим:

(2.12)

Модуль комплексного коэффициента передачи определяется отношением комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала. Его модуль характеризует отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного, а фаза - фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного.Наличие в делителе реактивных элементов делает комплексным числом. Для резистивного делителя – вещественное число.

Мощность, выделяющаяся на комплексном двухполюснике выражается комплексным числом, так как векторы тока и напряжения имеют фазовый сдвиг.

В приведенных формулах приняты обозначения: S – полная мощность, измеряется в вольтавмерах (ва); Р – активная мощность, измеряется в ваттах (Вт) Q – реактивная мощность, измеряется в вольтавмерах реактивных (вар).

2.3. Переходные процессы в RC-цепях

В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.

При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося значения к другому. Изменения токов и напряжений сопровождаются инерцией, вызванной изменением энергии электрического и магнитного полей в реактивных элементах цепи - емкостях и индуктивностях. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. Процессы изменения энергии описываются дифференциальными уравнениями. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон коммутации. Ток в индуктивности не может измениться скачком.

Ток в индуктивности в момент коммутации i_L (0) сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации i_L (0_-):

i_L (0) = i_L (0_-), (3.1)

Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации.

Второй закон. Напряжение на емкости не может измениться скачком.

Напряжение на емкости сразу после коммутации u_C (0)сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации u_C (0_-):

u_C (0) = u_C (0_-), (3.2)

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов.

1) Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время.

2) Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги.

3) Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

Классический метод расчета переходных процессов состоит в том, что ток в ветви схемы .i(t) представляют в виде суммы принужденного i _ПР (t) и свободного i _CB(t) токов:

.i(t) = i _ПР (t) + i _CB(t) (3.3)

Принужденный ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону. Принужденный ток существует в схеме при отсутствии

Свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

Свободный ток определяют по формуле общего решения дифференциальных уравнений:

.i _CB(t) = A₁e^P1t + A₂e^P2t + … (3.4)

Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме.

Постоянные интегрирования А₁, А₂ определяются с помощью начальных условий. Начальные условия - это переходные токи и напряжения в момент коммутации, в момент времени t, равный нулю. Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми. Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Они не могут изменяться скачком. Это напряжение на емкости u_c(0) и ток в ветви с индуктивностью i_L(0) в момент коммутации. Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением u_R(0) и i_R(0), напряжение на индуктивности u_L(0) и ток в ветви с емкостью i_C(0) - это зависимые начальные условия. Они могут изменяться скачком.

Корни характеристического уравнения P₁, P₂ определяют скорость протекания переходных процессов.

Проведем анализ переходных процессов для основных вариантов схем, в которых замыкается, или размыкается цепь с конденсатором, или катушкой индуктивности.

Вариант 1. Короткое замыкание в R-L цепи

На рис.2.4 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя RL - контур.

В соответствии с классическим методом

.i_L(t) = i _LПР (t) + i _LCB(t) = i _LПР + Ae^Pt

Для заданной схемы принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Ток через индуктивность имеет только свободную составляющую:

.i_L(t) = i _LCB(t) = Ae^Pt

Определим закон изменения тока в катушке после коммутации. До коммутации по индуктивности протекал ток

i_L(0-)=E/(R₀ + R)

Этот ток создавал постоянное магнитное поле в катушке индуктивности. Магнитное поле, исчезая, индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в RL - контуре существует за счет этой электродвижущей силы.

Запишем дифференциальное уравнение для свободного тока в RL - контуре, используя второй закон Кирхгофа.

Решением дифференциального уравнения первого порядка является экспоненциальная функция вида: . Выразим производную:

1). Для определения параметра Р подставим значения свободного тока и производной тока в исходное дифференциальное уравнение.

Упрощая получим характеристическое уравнение

, или .

Корень характеристического уравнения P = -R/L характеризует скорость затухания переходного процесса, имеет размерность [1/c]. С физической точки зрения более удобна обратная положительная величина: τ = -1/P = L/R , которая называется постоянная времени переходного процесса и измеряется в секундах. Постоянная времени τ - это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в e раз.

2) Постоянную интегрирования А определяем, используя начальное условие. В соответствии с первым законом коммутации, запишем:

Подставляя полученные значения р = -1/ τ и А в выражение для свободного тока, получим:

Дифференцируя ток, можно получить напряжение на индуктивности

На рис. 2.5 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.

Вариант 2. Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС

В схеме на рис. 2.6 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает RL - цепь к источнику постоянной ЭДС. Выразим закон изменения тока i(t): i_L(t) = i _LПР (t) + i _LCB(t) = i _LПР + Ae^Pt

Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации: i_ПР=E / R

1) Определим параметр Р и постоянную времени τ. Свободный ток создает энергия, запасенная в катушке, поэтому считаем Е = 0. Схема без источника ЭДС не отличается от предыдущей схемы на рис. 2.4. Свободный ток определяется аналогично:

.

2) Определим постоянную интегрирования А. Запишем значение переходного тока для момента t = 0. До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал. Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю: i(0) = i(0-) = 0.

Ток в катушке после коммутации определяет сумма, которая должна равняться нулю:i_L(0) = i _LПР + i _LCB(0) = 0, откуда i _LCB(0) = - i_LПР .

Поэтому A= -i_ПР = - E/R

Подставляя значения, получим:

.

Напряжение на индуктивности

На рис. 2.7 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.

Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине. Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.

Вариант 3. Короткое замыкание в R-C цепи

В данной схеме в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый RC - контур. До коммутации конденсатор полностью зарядился до напряжения, равного ЭДС источника питания, поэтому u_c (0-) = E. После коммутации конденсатор полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в RC - цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.

В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора. Запишем для RC - контура уравнение по второму закону Кирхгофа : . Учитывая, что ток через конденсатор пропорционален производной

, получим исходное дифференциальное уравнение:

Решение этого уравнения: имеет вид

1) Подставим значение свободного напряжения и производной

в исходное дифференциальное уравнение (8.3).

Получим характеристическое уравнение: 1+R P C = 0, корень которого p =-1/(RC), а постоянная времени переходного процесса τ= - 1/P = RC.

2) Учитывая начальные условия, u_C(0) = u_C(0-) = u_CCB(0) = Е; A = E. Следовательно:

Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 2.9).

Вариант 4. Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС

Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем u_c(0-) = 0. В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 2.10). Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания u_cпр= E.

Переходное напряжение

В момент коммутации

Постоянная интегрирования. /

В соответствии со вторым законом коммутации

u_C(0)=u_C(0-)=0; A=0-u_CПР=-u_СПР=-E

Переходное напряжение

Переходный ток

Временные диаграммы для напряжений и тока
изображены на рис. 2.11.

Выводы.

Принужденный ток, (или напряжение) определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, то принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону.

Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости. Свободный ток определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания.