Если случайные величины x и h независимы, то

М(xh) = Мx×Мh

Доказательство.

Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин x и h

x

х1

¼

xi

¼

xn

h

y1

¼

yj

¼

yk

Р

¼

¼

Р

¼

¼

то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:

М(xh) = =

= х₁ +х₂ +¼+ х_i ¼+ х_n =

= х₁ Mh + х₂ Mh + ¼+ х_i Mh¼+ х_n Mh = Mh = Мx×Мh

Дисперсия случайной величины.

Дисперсия Dxслучайной величины x определяется формулой

Dx = M(x – Mx)².

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

x
Р

Вычислим её математическое ожидание.

Mx = 1× + 2× + 3× =

Составим закон распределения случайной величины x – Mx

x– Mx
Р

а затем закон распределения случайной величины (x – Mx)²

(x– Mx)2
Р

Теперь можно рассчитать величину Dx :

Dx = × + × + × =

Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно представить в таком виде:

Dx =

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

Dx =

=

= Mx² – M²x

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

Пример.

Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным таблицей 1.Выше было показано, что Mx = р. Легко видеть, что Mx² = р. Таким образом, получается, что Dx = р – р² = pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).

Свойства дисперсии.

1. Если с – число, то D(x + с) = D(x)

2. Если k – число, то D(kx) = k² Dx.

Доказательство.

D(kx) = M(kx – M(kx))² = M(kx – k Mx)² = M(k² (x – Mx)²) = k²M(x – Mx)² =

= k² Dx

3. Для попарно независимых случайных величин x₁, x₂,¼, x_n справедливо равенство

Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин x_i с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную величину x. Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место равенство:x = . Отсюда следует, что математическое ожидание бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1 – р).

Если случайные величины x_i и x_j зависимы, то дисперсия суммы этих случайных величин не равна сумме их дисперсий. Этот случай разобран в последующих лекциях.

Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.

Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

x				h
Р	0,25	0,75		Р	0,7	0,3

Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.

Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины. Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Задача I. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина x – число карт между тузом и королём. Найти величины Mx и Dx.

Задача II.

В урне 2 белых, 2 чёрных и 1 зелёный шар. Из урны наудачу извлекаются 3 шара. Случайная величина x – число белых шаров в выборке. Случайная величина h принимает значение 0, если в выборке есть зелёный шар, и принимает значение 1, если в выборке нет зелёного шара. Найти величины Mx и Dx. Проверить выполнение равенства М(x + h) = Мx + Мh и неравенств D(x + h) ¹ Dx + Dh, Мxh ¹ Мx Мh

Задача III.

По прогнозу акции корпорации С₁ поднимутся в цене с вероятностью 0,7. Независимо от них акции корпорации С₂ поднимутся в цене с вероятностью 0,5. Случайная величина x примет значение 0, если ни одна из акций С₁ и С₂ не поднимется в цене, значение 1, если только одна из этих акций поднимется в цене, и значение 2, если в цене поднимутся обе акции. Случайная величина h примет значение 0, если акция С₁ не поднимется в цене и значение 1, если эта акция поднимется в цене. Найти величины Mx и Dx. Проверить справедливость неравенства D(x + h) ¹ Dx + Dh.

Задача IV. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина x – число карт между тузом и королём. Случайная величина h принимает значение 0, если туз оказался перед королём, и значение 1, если туз лежит после короля. Найти величины Mx и Dx. Проверить справедливость равенств D(x + h) = Dx + Dh, Мxh = Мx Мh

Ответы. I 2/3, 5/9; II1,2, 0,36, законы распределения случайных величин x + h и xh имеют вид

x + h						xh
Р	0,1	0,4	0,3	0,2		Р	0,6	0,2	0,2

III1,2, 0,46; IV2/3, 5,9