Задания для самостоятельного решения. Правила дифференцирования
Производная функции
Понятие производной.
Правила дифференцирования. Таблица производных
Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности.
Пусть точка рассматриваемой окрестности, то приращением аргумента в точке называется величина , приращением функции – величина . Если выразить , то .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.
Производную в точке обозначают . По определению
, (1)
или, что то же,
, (2)
при условии, что пределы (1),(2) существуют.
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то также является функцией (ее обозначают также ).
Основные правила дифференцирования
Пусть -дифференцируемые функции. Справедливы формулы:
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
. (7)
Таблица производных основных элементарных функций
1) ,где ,
в частности
а) ,
б) ;
2) где ,
в частности
;
3) где ,
в частности
;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) .
Пример 1: Найти производную функции в точке , пользуясь определением, если:
1) , ;
2) .
Решение. 1.Используем определение производной в виде формулы (1):
Поскольку по условию , то
2. По формуле (1) получаем
Далее, применив тригонометрическую формулу , получим:
Так как при имеем и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:
Поскольку по условию , то
Пример 2:Вычислить производную функции , пользуясь определением производной.
Решение.Пусть произвольная фиксированная точка из . Пользуясь формулой (1), имеем:
Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции , функцию .
Пример 3.Найти производную функции:
1) ;
2) ; 3) .
Решение. 1. Дифференцируем функцию и используем формулы (4), (5) и таблицу производных, получаем:
2. Дифференцируем функцию по формулам (3), (4), (6) и соответствующим формулам таблицы производных:
3. Дифференцируем функцию по формулам (7), (5), (3) и первой формуле таблицы производных:
Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:
1) 2) ;
3)
Решение.1. Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:
Полученное выражение дифференцируем по формулам (4), (5), (6) и формулам таблицы производных:
2. Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
Дальше воспользуемся формулами (3), (4), (5) и таблицей производных:
3. Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:
Полученное выражение дифференцируем по формуле (7) и соответствующим формулам таблицы производных.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1.Пользуясь определением, найдите производную функции:
1) 2)
1.2.Найдите производную функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
1.3. Найдите , если
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
1.4.Вычислите:
1) , если: ;
2) если
;
3) если .
1.5. Вычислите , если
1.6.Вычислите , если .
1.7. Решите уравнение:
1) , где
2) , где .
II уровень
2.1. Найдите производные , предварительно преобразовав выражение:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2.2. Для функции найдите
2.3.Известно, что . Найдите .
2.4. Решите неравенство , где .
III уровень
3.1. Вычислите , если:
1) ,
2) , .
3.2. Пользуясь определением производной, найдите , где
3.3. Найдите значение производной функции в точке , если .
3.4.Найдите сумму значений производной функции в точках x = 1 и x = 0.