Стандартная схема статистического моделирования
Им. Д. Ф. УСТИНОВА
|
КУРСОВАЯ работа
по учебной дисциплине __ Стохастические системы управления_____________________________
на тему _ Сокращение трудоемкости статистического моделирования _________________________
студента __________Абрамова Ильи Сергеевича _________________________________
Фамилия , Имя , Отчество студента
группы ______И381_____
|
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2012 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………………..3
Основная часть……………………………………………………………………...4
1. Аналитическое решение………………………………………………………..4
2. Стандартная схема статистического моделирования………………………...6
3. Метод выделения главной части…………….…………………………………8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..11
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………12
ПРИЛОЖЕНИЯ ………………………………………………………………………....13
1. Приложение 1 ………………………………………………………………....13
2. Приложение 2 ………………………………………………………………....16
ВВЕДЕНИЕ
Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени T. Модель звена:
,
,
содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.
Допустимая абсолютная погрешность .
Задачу решить тремя способами:
- используя стандартную схему статистического моделирования;
- используя рациональную схему статистического моделирования с применением комбинированного метода сокращения трудоемкости;
- аналитически.
Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.
При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.
Исходные данные (Вариант 1):
;
;
;
;
.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Аналитическое решение
В соответствии с заданием необходимо решить дифференциальное уравнение:
,
, (1)
где g = G( t ),
X(0) = A.
Сначала найдем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Подставим полученное решение однородного дифференциального уравнения (1):
Найдем С1 из условия X(0) = A:
В результате имеем:
Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:
, (2)
Где где a– случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.5;1.1],
k - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.6;1],
Для Т=1.2 с учетом статистической независимости k и a определим искомую характеристику:
Математическое ожидание выходного процесса определяется с учетом решения (2) [1]:
(3)
Дисперсия выходного процесса определяется с помощью уже найденного выше математического ожидания по формуле (3) [1]:
(4)
Используя полученное аналитически значение дисперсии можно оценить требуемое количество опытов, которое необходимо было бы провести при решении методом статистического моделирования [1]:
, (5)
где параметр принят равным 3 (при доверительной вероятности Рд=0,997.
Подставляя в формулу (5) значение, полученное по формуле (4), получим требуемое значение опытов :
Стандартная схема статистического моделирования
Поставленная задача решалась с использованием итерационного алгоритма статистического моделирования [1]. Данный алгоритм включает в себя следующие действия:
1. Проведение начальной серии опытов объемом N>=100, накопление сумм и вычисление оценок математического ожидания m*x и дисперсии D*x :
, (6)
, (7)
где xi – решение исходного дифференциального уравнения (1), находимое методом Эйлера с шагом h=0.01.
2. Получение оценки требуемого количества опытов:
. (8)
3. Проверка условия окончания вычислений
. (9)
4. Проведение дополнительной серии опытов и уточнение оценок математического ожидания m*x и дисперсии D*x , найденных по формулам (6) и (7) в случае невыполнения условия (9):
, (10)
. (11)
5. Уточнение оценки требуемого количества опытов , найденное по формуле (8) с учетом новых значений математического ожидания и дисперсии, полученных по формулам (10) и (11):
.
6. Повторная проверка условия (9), и, в случае его невыполнения, возврат к пункту 4 для очередного проведения дополнительных серий опытов и уточнения найденных результатов.
Провели начальную серию опытов n = 400. Накопили суммы и
:
Вычислили оценки математического ожидания и дисперсии по (6) и (7):
Получили оценку требуемого количества опытов
по (8):
Так как , то провели дополнительную серию опытов
Для того, чтобы не проводилось лишнее число опытов искусственно уменьшили n’ в 2 раза. Таким образом,
опытов. Вновь накопили суммы
,
и уточнили оценки математического ожидания и дисперсии по (9) и (10):
Тогда оценка требуемого количества опытов получилась:
Значение n = 11778+200=11978 опытов.
После данной итерации 11978<21100, следовательно, продолжили выполнение итерационного алгоритма. Получили следующие результаты:
.
Проверили выполнение условия . Данное условие не выполнилось, так как 21398>21377, следовательно, алгоритм завершил работу.
Окончательные результаты :
Дифференциальное уравнение (1) решается численным интегрированием методом Эйлера первого порядка [4] с шагом 0.001. Программа, реализующая итерационный алгоритм, написана в среде Borland Delphi 7 [5]. Текст программы представлен в Приложении 1.