Стандартная схема статистического моделирования

Им. Д. Ф. УСТИНОВА

Кафедра _И3_

КУРСОВАЯ работа

по учебной дисциплине __ Стохастические системы управления_____________________________

на тему _ Сокращение трудоемкости статистического моделирования _________________________

студента __________Абрамова Ильи Сергеевича _________________________________

Фамилия , Имя , Отчество студента

группы ______И381_____

	ПРЕПОДАВАТЕЛЬ   __Королёв С.Н.__ / ______________ / Фамилия И.О. Подпись   "___" _________________ 2012 г.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………..3

Основная часть……………………………………………………………………...4

1. Аналитическое решение………………………………………………………..4

2. Стандартная схема статистического моделирования………………………...6

3. Метод выделения главной части…………….…………………………………8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………12

ПРИЛОЖЕНИЯ ………………………………………………………………………....13

1. Приложение 1 ………………………………………………………………....13

2. Приложение 2 ………………………………………………………………....16

ВВЕДЕНИЕ

Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени T. Модель звена:

, ,

содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.

Допустимая абсолютная погрешность .

Задачу решить тремя способами:

- используя стандартную схему статистического моделирования;

- используя рациональную схему статистического моделирования с применением комбинированного метода сокращения трудоемкости;

- аналитически.

Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.

При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.

Исходные данные (Вариант 1):

;

;

;

;

.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Аналитическое решение

В соответствии с заданием необходимо решить дифференциальное уравнение:

, , (1)

где g = G( t ),

X(0) = A.

Сначала найдем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Подставим полученное решение однородного дифференциального уравнения (1):

Найдем С₁ из условия X(0) = A:

В результате имеем:

Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

, (2)

Где где a– случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.5;1.1],

k - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.6;1],

Для Т=1.2 с учетом статистической независимости k и a определим искомую характеристику:

Математическое ожидание выходного процесса определяется с учетом решения (2) [1]:

(3)

Дисперсия выходного процесса определяется с помощью уже найденного выше математического ожидания по формуле (3) [1]:

(4)

Используя полученное аналитически значение дисперсии можно оценить требуемое количество опытов, которое необходимо было бы провести при решении методом статистического моделирования [1]:

, (5)

где параметр принят равным 3 (при доверительной вероятности Р_д=0,997.

Подставляя в формулу (5) значение, полученное по формуле (4), получим требуемое значение опытов :

Стандартная схема статистического моделирования

Поставленная задача решалась с использованием итерационного алгоритма статистического моделирования [1]. Данный алгоритм включает в себя следующие действия:

1. Проведение начальной серии опытов объемом N>=100, накопление сумм и вычисление оценок математического ожидания m^*_x и дисперсии D^*_x :

, (6)

, (7)

где x_i – решение исходного дифференциального уравнения (1), находимое методом Эйлера с шагом h=0.01.

2. Получение оценки требуемого количества опытов:

. (8)

3. Проверка условия окончания вычислений

. (9)

4. Проведение дополнительной серии опытов и уточнение оценок математического ожидания m^*_x и дисперсии D^*_x , найденных по формулам (6) и (7) в случае невыполнения условия (9):

, (10)

. (11)

5. Уточнение оценки требуемого количества опытов , найденное по формуле (8) с учетом новых значений математического ожидания и дисперсии, полученных по формулам (10) и (11):

.

6. Повторная проверка условия (9), и, в случае его невыполнения, возврат к пункту 4 для очередного проведения дополнительных серий опытов и уточнения найденных результатов.

Провели начальную серию опытов n = 400. Накопили суммы и : Вычислили оценки математического ожидания и дисперсии по (6) и (7): Получили оценку требуемого количества опытов по (8):

Так как , то провели дополнительную серию опытов Для того, чтобы не проводилось лишнее число опытов искусственно уменьшили n^’ в 2 раза. Таким образом, опытов. Вновь накопили суммы , и уточнили оценки математического ожидания и дисперсии по (9) и (10): Тогда оценка требуемого количества опытов получилась: Значение n = 11778+200=11978 опытов.

После данной итерации 11978<21100, следовательно, продолжили выполнение итерационного алгоритма. Получили следующие результаты:

.

Проверили выполнение условия . Данное условие не выполнилось, так как 21398>21377, следовательно, алгоритм завершил работу.

Окончательные результаты :

Дифференциальное уравнение (1) решается численным интегрированием методом Эйлера первого порядка [4] с шагом 0.001. Программа, реализующая итерационный алгоритм, написана в среде Borland Delphi 7 [5]. Текст программы представлен в Приложении 1.