Задания к лабораторной работе 7

Задание №1. Исследовать поведение системы Лотки-Вольтерра при различных значениях параметров:

Система Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru
Амурский тигр – кабан 0,72 0,15 0,0125 0,009
Волк – заяц 0,8 0,45 0,014 0,005
Щука – карась 0,5 0,45 0,02 0,002
Лиса – мышь 0,75 0, 25 0,0115 0,006
Сова – мышь 1,20 0,35 0,02 0,0001
Лев – антилопа гну 0,60 0,25 0,025 0,00001
Стрекоза – комар 20,0 2,0 0,05 0,02
Крокодил – зебра 0,50 0,05 0,022 0,00001
Рысь – заяц 0,66 0,2 0,02 0,0003
Тигр – изюбрь 0,82 0,45 0,024 0,005
Волк – косуля 0,8 0,45 0,02 0,005
Нерпа – лосось 0,55 0, 25 0,05 0,006
Беркут – бурундук 0,55 0,25 0,015 0,005
Еж – змеи 1,20 0,55 0,02 0,0001
Цапля – лягушка 0,85 0,30 0,0115 0,005
Кукушка – стрекоза 20,0 2,0 0,05 0,02

Решить систему дифференциальных уравнений с различными начальными условиями. В частности, в качестве начальных условий взять Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru (здесь n – номер варианта).

Нарисовать графики функций Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru на промежутках [0,10] и [0,100]. Проанализировать зависимость изменения численностей от соотношения начальных значений.

Задание №2.Найти координаты точки равновесия системы Лотки-Вольтерра при заданных в задании №1 значениях параметров. Нарисовать фазовые кривые системы с заданными параметрами и различными начальными условиями, в том числе в качестве начального условия взять координаты точки равновесия. Сравнить результат с приведенным рисунком. Нарисовать на плоскости линии Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru для различных значений c>0.

На основании расчётов и полученных графических зависимостей сделайте выводы, оценив:

– поведение системы при различных параметрах, а также при различных начальных условиях;

– периоды колебаний численности «хищников» и «жертв»;

– при каких отклонениях от стационарных значений численности гармонические колебания сменяются сложными колебаниями, а форма фазовой траектории перестаёт быть эллипсом.

Лабораторная работа 8. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛи солоу

Общие сведения

Вычислительный эксперимент является важнейшим этапом современного математического моделирования. Во многих случаях описание модели или ее части сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, найти точное аналитическое решение которых не представляется возможным. В этом случае исследование модели представляет собой применение качественных и численных методов анализа. При этом в сочетании с теоретическими исследованиями численные методы позволяют приближенно находить не только конкретные (частные) решения, но и глобальные характеристики системы. Предварительный качественный анализ модели позволяет получить предварительную информацию о характере поведения решений системы и возможных вариантах этого поведения, о наличии особых траекторий и (или) особых значений параметров систем, что, в свою очередь, помогает правильно выбрать способ и параметры численного решения дифференциальных уравнений модели. Чем сложнее система, тем более важную роль для успеха вычислительного эксперимента играет предварительное аналитическое исследование модели.

Рассмотрим однопродуктовую (односекторную) модель, характеризующуюся в каждый момент времени набором переменных: Y – валовой выпуск, С – непроизводственное потребление, I – инвестиции, L – трудовые ресурсы (число занятых), К – производственные фонды (капитал), λ – темп роста трудовых ресурсов, μ – коэффициент выбытия ПФ. В такой модели продукция экономики считается однородной, т.е. состоящей из одного продукта. Все предприятия рассматриваются нераздельно, объединены в одну производственную единицу (отсюда и второе название модели – односекторная). Предполагается, что выпуск в каждый момент времени определяется производственной функцией Y = F(K,L).

Выпишем основные балансовые соотношения модели в удельных (душевых) переменных:

Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru - фондовооруженность, Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru - удельный выпуск (производительность труда), Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru . (1.10)

В силу свойств производственной функции

Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru . (1.11)

Балансовое условие агрегированной экономики: Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru .

Основные предположения модели:

1. модель динамики трудовых ресурсов описывается уравнением Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru (мальтузианский рост);

2. модель воспроизводства основных производственных фондов описывается уравнением Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , где Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru – норма выбытия ОПФ, Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru – инвестиции.

3. население сберегает (и инвестирует) постоянную долю своего дохода Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru .

С учетом основного макроэкономического тождества Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru получаем в абсолютных показателях Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru , откуда с учетом введенных обозначений выводим основное уравнение модели: Задания к лабораторной работе 7 - student2.ru .

Наши рекомендации