Исследования термодинамических процессов.

Первый закон термодинамики устанавливает связь между количеством тепла dq, сообщаемого газу извне, изменением его внутренней энергии du и работой dw, которую газ совершает. Последние два фактора могут быть оценены, если будет известно, как изменились параметры, характеризующие состояние газа и по какому пути шел процесс изменения состояния газа (для определения работы).

Основными термодинамическими процессами являются:

1. процесс сообщения или отнятия теплоты при постоянном объеме газа (υ = const) – изохорный процесс;

2. процесс сообщения или отнятия теплоты при постоянном давлении газа (ρ = const) – изобарный процесс;

3. процесс сообщения или отнятия теплоты при постоянной температуре газа (t = const) – изотермический процесс;

4. процесс без сообщения или отнятия теплоты извне (dq = const) – адиабатный процесс;

5. процесс, в котором изменение параметров подчиняется уравнению

ρυⁿ = const

где n – величина (политропа), постоянная для данного процесса, - политропный процесс.

Изохорный процесс. В диаграмме ρυ этот процесс изображается прямой 1-2, параллельной оси ординат. Уравнение прямой 1-2 (Рис. 1), называемой изохорой υ = const

Рис. 1.

Для исследования изменения параметров в этом процессе продифференцируем характеристическое уравнение ρυ = RT при условии υ = const: υdρ = RdT , полученное уравнение показывает, что если dT >0, то и dр >0. Если dT <0, то и dρ <0, т.е. в изохорном процессе с увеличением или уменьшением абсолютной температуры увеличивается или уменьшается абсолютное давление газа. Зависимость между начальными и конечными параметрами процесса

p₁/p₂ = T₁/T₂ (1)

Так как здесь нет изменения объема, ρdυ= 0, откуда следует, что при сообщении или отнятии тепла в процессе с постоянным объемом газ работы не совершает. Это также видно из ρυ-диаграммы. Так как процесс представлен прямой, параллельной оси ординат, то площадь, соответствующая работе = 0.

Изменение внутренней энергии:

∆u_υ = q_υ = c_υm (t₂ – t₁) (2)

Таким образом, в процессе с постоянным объемом все подводимое извне тепло идет на изменение внутренней энергии.

Общая формула для подсчета количества тепла при нагревании G кг или V м3 газа

Q_υ = G c_υm (t₂ – t₁) = Vc´_υm (t₂ – t₁) (3)

Изобарный процесс. В диаграмме рυ этот процесс изображается прямой 1-2, параллельной оси абсцисс. Уравнение прямой 1-2 (Рис. 2), называемой изобарой р = const

Рис. 2.

Для исследования изменения параметров в этом процессе продифференцируем характеристическое уравнение рυ = RT при условии р = const: рdυ = RdT , полученное уравнение показывает, что если dυ >0 то и dT >0. Если dυ <0, то и dT <0, т.е. в изобарном процессе при расширении газа температура его увеличивается, а при сжатии уменьшается. Это является следствием соотношения между q и w в этом процессе, которое определяет ∆u, а тем самым и температуру идеального газа. Зависимость между начальными и конечными параметрами процесса

υ₁/υ₂ = T₁/T₂ (4)

Для вычисления работы при переходе из состояния 1 в 2 (Рис.2) надо в общем уравнении (ф-ла 19 лекция 3) принять для данного случая р = const, так что

_υ2

l =р ∫ dυ = р (υ₂- υ₁) (5)

^υ1

это выражение для работы газа может быть получено и из ρυ-диаграммы. Опустив перпендикуляры из точек 1 и 2 на ось абсцисс, находим работу как площадь прямоугольника с основанием (υ₂- υ₁) и высотой ρ, т.е. w = ρ (υ₂- υ₁). Для идеального газа работа может быть представлена и в другом виде. В уравнении рdυ = RdT левая часть есть не что иное как элементарная работа dw отсюда dw = RdT, а

_T2

l = ∫ RdT = R (T₂ - T₁) (6)

^T1

Для G кг идеального газа

L = GR (t₂ - t₁) (7)

Для G кг любого газа работа составит

L = Gρ (υ₂- υ₁) = ρ (V₂-V₁) (7)

Формула для подсчета количества тепла отнесенному к G кг или V м3 газа

Q_υ = G c _ρm (t₂ – t₁) = Vc´_ρm (t₂ – t₁) (8)

Изотермический процесс. Изменение состояния газа, при котором температура газа остается постоянной, называется изотермическим.Кривая изотермического процесса, называемая изотермой, в диаграмме рυ изображается равнобокой гиперболой (Рис.3). Уравнение изотермы в координатах рυ: рυ = const

Для выявления характера изменения параметров состояния идеального газа в этом процессе продифференцируем характеристическое уравнение при t = const. Получаем ρdυ = - υdρ. Из этого уравнения заключаем, что при dυ>0 должно быть dр< 0 и наоборот, т.е. в изотермическом процессе при расширении газа давление уменьшается, а при сжатии увеличивается.

Рис. 3.

Для определения зависимости между внешним теплом, изменением внутренней энергии и работой газа уравнение первого газа термодинамики при t= const c_υdt = 0, а потому

dq_t = Apdυ (9)

Из полученного равенства для идеального газа можно сделать следующие выводы

1. Если dυ>0, то должно быть dq_t>0,т.е. для осуществления изотермического расширения к газу необходимо подводить извне тепло, которое полностью идет на совершение работы.

Обратно: если dυ<0, то должно быть dq_t <0, т.е. для осуществления изотермического сжатия внешняя среда совершает над газом работу, которая полностью превращается в тепло и отводится.

2. В изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется: du_t = c_υdt = 0, т.е. u_t = const.

Из уравнения работы имеем для конечного изменения состояния газа в пределах υ₁ – υ₂

^υ₂

l = ∫ ρdυ

^υ1

зависимость между начальными и конечными параметрами определяется по формулам:

p₁/ p₂ = υ₂/ υ₁ (10)

p₁/ p₂ = V₂/ V₁ (11)

Работу идеального газа находят из уравнений

l = RT ln υ₂/ υ₁ (12)

l = RT ln p₁/ p₂ (13)

l = p₁ υ₁ ln υ₂/ υ₁ (14)

l = p₁ υ₁ ln p₁/ p₂ (15)

если в процессе участвуют М кг газа, то полученные из фор-л (12)-(15) значения нужно увеличить в М раз, а в формулах (14)-(15) можно также заменить удельный объем υ полным объемом V, тогда

l = p₁ V₁ ln υ₂/ υ₁ (16)

l = p₁ V₁ ln p₁/ p₂ (17)

количество тепла в этом случае определяется

∆u = c_υm (t₂ – t₁) = 0 (18)

количество теплоты, сообщаемой газу или отнимаемый от него

q_t = l (19)

Адиабатный процесс. Процесс изменения состояния газа, при котором отсутствует теплообмен между газом и внешней средой, называется адиабатным. Для такого процесса в уравнениях первого закона термодинамики левая часть, представляющая собой внешнее тепло, равна нулю, т.е.

dq =0 (20)

Адиабатные процессы имеют большое значение в теплотехнике. В паровых машинах и двигателях внутреннего сгорания процессы расширения и сжатия происходят очень быстро, поэтому их считают адиабатными.

Уравнение адиабаты в системе координат рυ (Рис. 4) при постоянной теплоемкости для идеального газа: ρυ^k = const

где k = с_ρ/ с_υ – показатель адиабаты.

Рис. 4

Зависимости между начальными и конечными параметрами процесса:

между ρ и υ p₂/ p₁ = (υ₁/ υ₂) ^k (21)

между Т и υ Т₂/ Т₁ = (υ₁/ υ₂) ^k-1 (22)

между р и Т Т₂/ Т₁ = (р₂/ р₁) ^{(k-1) / k} (23)

Определим работу газа из уравнения 1-го з-на термодинамики для адиабатного процесса

0 = du + dl

так что

dl = - du (24)

Полученное выражение показывает, что если dl>0, то должно быть du <0, и наоборот если dl<0, то должно быть du >0. интегрируя выражение (24) получаем

D l = u₁ – u₂ (25)

Это ур-е можно описать так: в адиабатном процессе расширения газа работа совершается за счет внутренней энергии и равна убыли ее. Или другими словами – изменение внутренней энергии газа и работа адиабатного процесса равны по величине и противоположны по знаку.

Изменение внутренней энергии идеального газа в адиабатном процессе может быть также выражено уравнением

∆u = c_υm ( t₂- t₁)