Бесконечно малые функции и их основные свойства

ЗАНЯТИЕ 11

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

План:

Вычисление пределов бесконечно больших и бесконечно малых величин.

Вычисление пределов с неопределенностями вида (0/0).

Литература

Баврин, И.И.Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»., 2004.– 616 с.
Баврин, И.И. Математический анализ: учебник./ И.И. Баврин, М.: Высш. шк., 2006 – 327 с.
Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов. В 2 ч. Ч. 1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Мир и Образование, 2003. – 304 с.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут .

Примеры.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Найдите предел данной последовательности.

Увеличивая значения n, составим последовательность 2, Видно, что ее значения с увеличением n все ближе будут к 1, поэтому предел этой числовой последовательности равен 1.

2. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения . Найдите предел данной последовательности.

Увеличивая значения n, составим последовательность 1, Видно, что ее значения с увеличением n все ближе будут к 1/2, поэтому предел этой числовой последовательности равен ½.

Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a.

Примеры.

1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. .

2. Найти предел функции y=e^x+1 при x → 0.

Используя график заданной функции, несложно заметить, .

1. .

2. (см. рис.).

3. .

4. Функция при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

Ограниченные функции

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Примеры.

1. Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|≤1 = M.

2. Функция y=x²+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f(3) = 11.

3. Рассмотрим функцию y=ln x при x (0; 1). Эта функция не ограничена на указанном отрезке, так как при x→0 ln x→-∞.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.