Курс 1 семестр, для ФН-4 2016 -17.

Модуль 1. Элементарные функции, пределы и непрерывность

1. Кванторы существования и всеобщности, логические связки. Свойства логических связок, правило вывода. Теория множеств. Отношение принадлежности элемента множеству. Парадокс Рассела. Конечные множества. Определение натуральных чисел на языке теории множеств. Операции с множествами (объединение, пересечение, дополнение) и их свойства. Упорядоченные пары, декартово произведение множеств. Построение отрицания сложного высказывания в утвердительной форме. Логическая структура теоремы. Необходимое условие, достаточное условие, критерий. Принцип математической индукции. Докажите неравенство Бернулли. Число перестановок и число сочетаний (выборов). Треугольник Паскаля (формула для числа сочетаний). Бином Ньютона (два доказательства).

2. Множество R действительных чисел. Пифагорово доказательство иррациональности . Бесконечные десятичные дроби. Представление рациональных чисел в виде бесконечной периодической дроби. Сравнение действительных чисел. Стандартные промежутки на числовой прямой (отрезки, интервалы, полуинтервалы) . Ограниченные сверху, ограниченные снизу, ограниченные множества на прямой. Определение неограниченного множества в утвердительной форме. Верхние грани (мажоранты) и нижние грани (миноранты). Наибольший (максимальный) и наименьший (минимальный) элементы множества. Точная верхняя грань и точная нижняя грань множества. Докажите принцип полноты (непрерывности) множества вещественных чисел (принцип точной верхней грани). Докажите теорему о вложенных отрезках. Покажите на примерах, что для полуинтервалов теорема не верна. Дайте определение арифметических операций с действительными числами (сложение, умножение , вычитание и деление). Приведите примеры. Сформулируйте аксиомы действительных чисел. Теорема о существовании и единственности непрерывного упорядоченного поля (без доказательства). Примеры полей (Q - поле рациональных чисел, С - поле комплексных чисел, и - поля из двух и трёх элементов). Примеры коммутативных колец с единицей, не являющихся полем (кольцо Z целых чисел и кольцо Z[x] многочленов с целыми коэффициентами . Простейшие следствия аксиом (единственность нуля, положительность единицы и др.) . Модуль вещественного числа (абсолютная величина) и его свойства (модуль произведения, неравенство треугольника и другие). Дайте определение целой части вещественного числа и докажите её существование. Докажите свойство плотности рациональных чисел.

3. Определение функции. График функции. Функция (знак). Простейшая классификация отображений (сюръекция, инъекция, биекция). Примеры. Аксиома свободного выбора и её следствие. Определение вполне упорядоченного множества. Сформулируйте теорему Цермело. Мощность множества. Докажите теорему о мощности подмножества счётного множества. Докажите теорему о мощности объединения счётного числа счётных множеств. Докажите теорему о мощности множества рациональных чисел. Докажите теорему о мощности произведения двух счётных множеств и её следствие. Докажите теорему Кантора о несчётности множества всех вещественных чисел (1874г.). Дайте второе доказательство теоремы Кантора (с использованием теоремы о вложенных отрезках). Сравнение мощностей. Докажите теорему Кантора-Бернштейна. Докажите, что для любого множества найдётся множество большей мощности (неограниченность шкалы мощностей). Докажите счётность множества многочленов с рациональными коэффициентами. Дайте определение алгебраического числа. Докажите счётность множества всех алгебраических чисел. Докажите счётность множества всех алгоритмов. Дайте определение вычислимого числа. Докажите, что множество всех вычислимых чисел счётно. Континуум-гипотеза. Сформулируйте теорему Коэна (1963 год).

4. Числовая последовательность. Определение предела последовательности, его геометрическая интерпретация. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Докажите теорему о пределе постоянной последовательности. Докажите теорему о предельном переходе в неравенстве. Замечание о строгом неравенстве. Докажите теорему о единственности предела. Докажите теорему о пределе промежуточной последовательности (оценочный признак). Докажите необходимое условие сходимости последовательности. Покажите на примере, что оно не является достаточным. Критерий точной верхней (точной нижней) грани. Определение монотонных последовательностей ((строго) возрастающие, (строго) убывающие, тоже самое, начиная с некоторого номера ). Докажите теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности (достаточное условие сходимости последовательности). Определение бесконечно малых, бесконечно больших последовательностей. Докажите теорему о связи бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей. Докажите теорему об арифметических действиях с пределами для последовательностей. Дайте определение и докажите существование числа "e".

5. Докажите теорему о стягивающихся отрезках. Дайте определение подпоследовательности и частичного предела последовательности. Докажите теорему о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности и следствие о расходимости последовательности, имеющей различные частичные пределы. Докажите теорему о существовании наибольшего и наименьшего частичных пределов последовательности (верхнего и нижнего пределов последовательности). Докажите теорему о последовательности, разбитой на две подпоследовательности, имеющие одинаковые пределы. Докажите теорему Больцано – Вейерштрасса. Дайте определение фундаментальной последовательности (последовательности Коши). Докажите критерий Коши сходимости последовательности (доказать только его необходимость).

6. Дайте определения чётных, нечётных, переодических функций. Определение гиперболических функций, их простейшие свойства и графики. Вывести основные тождества, связывающие гиперболические функции.

7. Определение предела функции в точке по Коши. Определение непрерывности функции в точке. Докажите по определению, что . Определение и геометрическая интерпретация предела для случаев: , , , , Связь между пределами функции при односторонних и двустороннем стремлении. Определение бесконечных пределов. Стандартные окрестности и "окрестностное" определение предела.

8. Последовательности Гейне функции в заданной точке. Теорема о последовательностях Гейне, имеющих предел. Определение предела функции по Гейне. Докажите эквивалентность пределов по Гейне и по Коши.

9. Докажите теоремы о предельном переходе в неравенствах и о единственности предела.

10. Докажите теоремы о локальных свойствах предела функции: (а) о локальной ограниченности функции, имеющей предел; (б) о локальной знакоопределенности функции, имеющей предел, отличный от нуля (теорема о сохранении знака).

11. Докажите теорему о пределе промежуточной функции (оценочный признак).

12. Определение бесконечно малой (бм) функции при данном стремлении аргумента, расшифровка для конкретных стремлений. Докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой при некотором стремлении аргумента (теорему о представлении функции, имеющей предел). Определение бесконечно большой (бб) функции . Докажите свойства бесконечно малых функций (теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной, теорема о сумме бесконечно малых, теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой) . Докажите теорему об арифметических действиях с пределами. Докажите теорему о пределе сложной функции.

13. Докажите непрерывность косинуса в точке . Доказать теорему о «первом замечательном пределе» и ее следствия.

14. Доказать теорему о «втором замечательном пределе» и ее следствия.

15. Сравнение функций при данном стремлении аргумента, определение отношений асимптотической эквивалентности «~», «о-малое», и «О-большое», примеры. Докажите критерий эквивалентности функций, не равных нулю. Докажите свойства отношения эквивалентности (рефлексивность, симметричность и транзитивность). Разбиение на классы эквивалентности. Докажите теоремы о произведении и делении эквивалентных функций. Дайте определение функций одного порядка при . Докажите критерий функций одного порядка. Приведите простейший пример неэквивалентных функций одного порядка. Определение порядка малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента. Привести примеры. Докажите критерий порядка. Докажите теорему о связи асимптотической эквивалентности и асимтотической формулы с символом «о-малое». Докажите теорему о сравнении роста логарифмической, степенной и показательной функций при ("шкала бесконечностей"). Теорема о пределе асимптотически эквивалентных функций.

16. Вывести асимптотические эквивалентности и асимптотические формулы (при ) для функций: , , , , , , (т.е. для каждой из этих функций указать эквивалентную ей функцию вида , ). Эквивалентности для и при . Применение эквивалентностей для вычисления пределов. Примеры.

17. Определение непрерывности функции в точке, четыре равносильные формулировки. Односторонняя непрерывность в точке, ее связь с (обычной) непрерывностью в точке. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Доказать теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Доказать теорему о непрерывности композиции двух непрерывных функций.

18. Доказать непрерывность многочлена и функции sin x. Докажите, что . Докажите непрерывность функции . Сформулировать теорему о непрерывности основных элементарных функций и о непрерывности элементарных функций. Сформулировать локальные свойства функции, непрерывной в точке х₀: (а) локальная ограниченность; (б) локальное знакопостоянство (если ), доказать одну и них.

19. Определение функции, непрерывной на промежутке: интервале, полуинтервале, отрезке. Сформулировать и доказать теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке: две теоремы Вейерштрасса, теоремы Больцано – Коши о нулях и о промежуточных значениях. Приведите примеры, иллюстрирующие существенность условий в формулировках этих теорем. Докажите теорему о непрерывности функции, обратной к монотонной и непрерывной функции.

20. Определение равномерной непрерывности функции на промежутке. Докажите теорему Кантора. Приведите пример функции, непрерывной, но не равномерно, на некотором полуинтервале.

21. Определение точки разрыва функции. Функции Дирихле и Римана. Их точки разрыва (с доказательством). Классификация точек разрыва (первого рода (устранимые и точки конечного разрыва), второго рода , точки бесконечного разрыва). Примеры.

22. Определение асимптоты графика функции. Виды асимптот. Критерий существования. Формулы для коэффициентов уравнения наклонной асимптоты.

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

23. Приращение функции, приращение аргумента. Определение производной функции в точке, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

24. Определение дифференцируемости функции в точке (существование конечной производной) . Докажите критерий дифференцируемости (асимптотическая формула). Доказать необходимое условие дифференцируемости (непрерывность).

25. Односторонние производные. Связь односторонних производных с обычной (двусторонней). Покажите, что необходимое условие дифференцируемости не является достаточным (непрерывная функция может не быть дифференцируемой, например, модуль в точке ). Геометрический смысл дифференцируемости на интервале (гладкость графика). Функции, нигде не имеющие производных. Вид их графика. Траектории броуновского движения и пример Вейерштрасса (без доказательства). Определение бесконечной производной функции в точке и ее геометрическая интерпретация.

26. Вывести правила дифференцирования (нахождения производной) суммы, произведения и частного двух функций.

27. Доказать теоремы о производной: (а) сложной и (б) обратной функций. Вывести формулы для производных константы, показательной, логарифмической (докажите, что ), степенной, тригонометрических и гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование и его свойства, применение для нахождения производных.

28. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Производные высших порядков функций , , , , (для формул Маклорена). Докажите формулу Лейбница для п-й производной произведения двух функций (аналог бинома Ньютона). Нахождение первой и второй производных функции, заданной: (а) параметрически; (б) неявно.

29. Определение дифференциала функции (то же, что и главной-линейной-части-приращения), его геометрический смысл. Доказать и пояснить инвариантность формы первого дифференциал. Вывести правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Определение дифференциалов высших порядков, неинвариантность формы для дифференциала 2-го порядка, инвариантность формы высших дифференциалов при линейных заменах.

30. Определение экстремума функции. Доказать теорему Ферма (необходимое условие экстремума). Обобщённое необходимое условие экстремума. Определение стационарной (производная равна нулю в ней) и критической (либо эта точка стационарна, либо в ней функция не дифференцируема ) точек функции.

31. Докажите теорему Ролля, дать её геометрическую иллюстрацию. Докажите теорему Лагранжа о конечном приращении, дайте её геометрическую интерпретацию. Докажите достаточное условие возрастания функции. Докажите теорему Коши о конечном приращении.

32. Докажите первое (для случая неопределенности ) правило Лопиталя – Бернулли при , . Сформулируйте второе правило Лопиталя-Бернулли, (для случая неопределенности ). Раскрытие неопределенностей других видов.

33. Дайте определение многочлена Тейлора функции в данной точке. Докажите теорему о равенстве значений в этой точке функции и ее многочлена Тейлора, а также их производных.

34. Докажите локальную формулу Тейлора (с остатком в форме Пеано), и формулу Тейлора для конечных приращений (с остатком в форме Лагранжа). Приведите функции, у которой все коэффициенты Тейлора равны нулю, а сама функция не равна нулю во всех точках, кроме .

35. Формула Маклорена, как частный случай формулы Тейлора. Вывести разложения по формуле Маклорена функций: , , . Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям (с оценкой ошибки), доказательству неравенств и к вычислению пределов.

36. Докажите необходимое условие монотонности дифференцируемой функции.

37. Докажите достаточные условия экстремума функции: первое (по первой производной), второе (в стационарной точке – по второй производной), третье – по п-й производной. Покажите на примере, что первое условие не является необходимым ("функция-борода").

38. Определение выпуклости (вверх, вниз) графика дифференцируемой функции на интервале. Докажите достаточное условие выпуклости графика дважды дифференцируемой функции.

39. Определение точки перегиба графика. Докажите теорему о положении касательной на конце интервала выпуклости. Докажите теорему о положении касательной в точке перегиба. Докажите необходимое условие перегиба графика. Докажите достаточное условие перегиба графика в точке.

40. Схема полного исследования функции и построения (эскиза) ее графика.

41. Дайте определение длины кривой и спрямляемой кривой. Докажите достаточное условие спрямляемости и оценку длины сверху через максимум модуля первой производной. Докажите формулу для производной длины дуги. Приведите пример неспрямляемой непрерывной кривой.

42. Угол смежности, средняя кривизна. Дайте определение кривизны плоской кривой. Вычислите кривизну прямой и окружности. Докажите формулу кривизны плоской кривой. Дайте определение центра кривизны и соприкасающейся окружности.

43. Вектор-функции. Предел и непрерывность в точке. Докажите теорему о пределе вектор-функции (сведение к пределам каждой координаты). Докажите теорему о производной вектор-функции постоянной длины.