Приклади розв’язання типових задач.

Визначений інтеграл.

План

1.Визначений інтеграл.

2.Формула Ньютона-Лейбніца.

3. Основні методи обчислення визначеного інтеграла.

4. Геометричне застосування визначеного інтеграла.

1. Нехай функція визначена на відрізку і - довільне розбиття цього відрізка на частинних відрізків , . На кожному з них виберемо довільну точку і складемо суму , . Число називається інтегральною сумою функції , що відповідає даному розбиттю відрізка і вибору точок . Позначимо , .

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми при , що не залежить ні від способу розбиття відрізка , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається , тобто

.

Число називають нижньою, число - верхньою межею визначеного інтеграла.

2. Якщо - первісна для , тобто на , то (формула Ньютона-Лейбніца). Різницю записують також у вигляді .

3Інтегрування частинами.Якщо і - неперервно диференційовні функції на , то справедлива формула інтегрування частинами

.

Заміна змінної у визначеному інтегралі:

, де - функція, неперервна разом зі своєю похідною на відрізку ; , , - функція неперервна на .

Важливо те, що заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знаходять також нові межі інтегрування, і надалі вже не повертаються до початкової змінної.

4. Площа фігури, обмеженої кривими і та прямими і знаходиться за формулою .

Довжина дуги кривої , знаходиться за формулою .

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , , , навколо осі .

За допомогою визначеного інтеграла обчислюють також статичні моменти і моменти інерції плоских фігур, знаходять координати центра мас плоскої фігури, роботу, тиск та інші величини.

Приклади розв’язання типових задач.

Приклад 1. Обчислити .

.

Приклад 2. Обчислити інтеграл .

.

Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженої заданими параболами

Знайдемо абсциси точок перетину заданих парабол. Для цього прирівняємо праві частини цих рівнянь:

Звідси

Площу фігури обчислюємо за формулою

де – криві, які обмежують фігуру .

В нашому випадку маємо

Приклад 4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, розташованої в першій координатній чверті і обмеженої параболою , прямою і віссю Ох.

Знайдемо абсцису точки перетину параболи і прямої в першій координатній чверті. Для цього розв’яжемо рівняння

або

Знаходимо, що Першій координатній чверті відповідає корінь

Абсцису точки перетину прямої з віссю Ох знайдемо, розв’язавши рівняння звідки

Таким чином, можемо вважати, що тіло обертання обмежене при поверхнею, яка утворена обертанням параболи навколо вісі Ох, а при – обертанням прямої .