Задачи для самостоятельного решения. Дифференциальные уравнения

Векторные линии.

Дифференциальные уравнения

Векторных линий.

Определение 1. Если в каждой точке М пространства или части пространства определена векторная величина а = а(М), то говорят, что задано векторное поле.

Если в пространстве введена декартова система координат, то задание векторного поля

а = а(М) равносильно заданию трёх скалярных функций точки Р(М), Q(M), R(M), так что

а(М) = Р(x,y,z)I + Q(x,y,x)j + R(x,y,z)k.

Определение 2. Векторной линией векторного поля а называется кривая, в каждой точке М которой вектор а направлен по касательной к этой кривой.

Пусть векторное поле определяется вектором

а = Pi + Qj + Rk,

Где

Р = Р(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z)

- Непрерывные функции от x, y, z , имеющие ограниченные частные производные первого порядка.

Тогда дифференциальные уравненния векторных линий имеют вид

(1)

Интегрированные системы дифференциальных уравнений (1) дает систему двух конечных уравнений

, ,

Которые , рассматриваемые в совокупности, определяют двухпараметрическое семейство векторных линий

.

Если в некоторой области G для системы (1) выполнены условия теоремы существования и единственности решения , то через каждую точку проходит единсвенная векторная линия

Пример 1. Найти векторные линии векторного поля

a = [c, r],

где c – постоянный вектор .

Пример 2. Найти векторную линию поля

a = -yl + xj + bk,

Проходящую через точку (1, 0, 0).

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии следующих векторных полей:

92. .

93. , где – постоянные.

94. н

Найти векторную линию поля

Проходящую через точку

Пример 3. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии следующих плоских полей:

96. .

97. .

98. .

99.

100.

101.

Пример 4. Найти векторные линии поля а = {c, r}, где c – постоянный вектор.

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии следующих векторных полей:

102.

103. где – постоянные векторы.

Поток векторного поля.

Способы вычисления потока.

Определение. Потоком П векторного поля а(М) через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности S от проекции вектора а(М) на нормаль n(M) к этой поверхности:

Где - единичный вектор (орт) нормали n к выбранной стороне поверхности S; dS – элемент площади поверхности S.

Пример 3. Найти поток векторного поля

Через сферу радиуса R с центром в начале координат.

Задачи для самостоятельного решения

104. Вычислить поток векторного поля n = 3j через площадку , имеющую форму треугольника с вершинами в точках в сторону , где расположено начало координат.

105. Найти поток векторного поля , где – постоянные через площадку, перпендикулярную оси и имеющую форму круга радиуса R в положительном направлении оси .

Пример 6. Найти поток векторного поля a = I – J + xyzk через круг S, полученный сечением шара плоскостью y=x. Взять сторону круга , обращенную к положительной части оси