Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
Пусть многочлен имеет вещественные корни.
Пусть - корни, тогда
.
Рассмотрим подстановку
Билет 34
Вторая подстановка Эйлера для интегралов вида , где
.
Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x. Делаем подстановку .Возводя это равенство в квадрат и заменяя
его выражением, получим:
Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем:
.
Билет 35
Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть
, где
и
- многочлены от
и
.
1) Если один из многочленов ,
четный по
, а другой – нечетный по
, то подстановка
рационализирует интеграл.
2) Если один из многочленов ,
четный по
, а другой – нечетный по
, то подстановка
рационализирует интеграл.
3) Если оба многочлена четные по и
, то подстановка
рационализирует интеграл.
3’) Выражения вида , где
и
- четные. Они сходны с 3 случаем, где
4) Универсальная подстановка.
Рационализация также достигается с помощью подстановки
, которая называется универсальной. В самом деле,
;
;
.
5) Выражения вида ;
;
. Они рационализируются с помощью перевода в тригонометрические суммы.
Билет 36
Тригонометрические подстановки.
Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:
Пример:
Билет 37
Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиение R:
.
Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек .
Если существует предел при интегральных сумм
, и он не зависит от R и
, то он называется определенным интегралом Римана.
Определение по Коши:
По Гейне:
, где
- последовательность разбиений.
Критерий Коши:
Билет 38
Ограниченность интегрируемой функции.
Теорема:
Если функция f(x) интегрируема на [a,b] и существует , то функция ограничена на этом отрезке.
Доказательство:
От противного: пусть f(x) неограниченна на [a,b]. Введем произвольное разбиение R: . Т.к. функция неограниченна на [a,b], то она неограниченна хотя бы на одном из отрезков
. Пусть
- номер того отрезка, на котором функция неограниченна. Тогда рассмотрим интегральную сумму:
- т.е. выделили суммы одно слагаемое. Обозначим
, тогда получим:
(следует из неравенства о модулях). Тогда возьмем произвольное N и сделаем разность
. Для этого у нас должно быть
. У нас функция неограниченна на отрезке
, значит
. Тогда интегральная сумма будет
, т.е. будет являться величиной неограниченной, т.е. не будет существовать ее предела, а значит и
, что противоречит условию.
Теорема доказана.
Билет 39