Теорема о производной сложной функции

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀=f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx:

Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀).

Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y '_uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y '_x= y '_u·u '_x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y '_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y '_x= y '_u·u '_x . Применяя эту же теорему для u '_x получаем , т.е.

y '_x = y '_x· u '_v· v '_x = f '_u (u)·u '_v (v)·v '_x (x).

Примеры.

1. y = sin x². Тогда .

2.

3.

Таблица производных простейших элементарных функций Легко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова. 1. (u^a(x))' = a u^a-1(x)u'(x), в частности, (1/u(x))' = -u'(x)/u2(x), ( )' = u'(x)/2 ; 2. (log_au(x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a№1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x); 3. (a^u(x))' = a^u(x)ln a u'(x) при 0<a№1, в частности, (e^u(x))' = u'(x)e^u(x); 4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x); 5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x); 6. (tg u(x))' = u'(x)/cos²u(x) x№ p/2+p n, n=0,+-1,...; 7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin²u(x) x№ p n, n=0,+-1,...; 8. (arcsin u(x))' = u'(x)/ , -1<u(x)<1; 9. (arccos u(x))' = -u'(x)/ , -1<u(x)<1; 10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u²(x)); 11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u²(x)). Введем гиперболические функции: sh x = (1/2)(e^x-e^-x)- гиперболический синус; ch x = (1/2)(e^x+e^x)- гиперболический косинус; th x = sh x/ch x -гиперболический тангенс; cth x = ch x/sh x - гиперболический котангенс. Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных. 1. (sh x)' = ch x; 2. (ch x)' = sh x; 3. (th x)' = 1/ch² x; 4. (cth x)' = -1/sh² x. Пример 7. Найти y', если 1. y(x) = x³arcsin x. 2. y(x) = ln sin (x²+1). y' = (2xcos(x2+1))/sin(x2+1) = 2x ctg(x2+1) Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. МуТНый 26 Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ < х < Ґ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x. 1. 2. . 3. (справедлива для любого конечного числа слагаемых). 4. . 5. . а) . б) . Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно. Доказательство формулы 3. Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx). Тогда Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv. Следовательно, . Доказательство формулы 4. Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x). Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0. Поэтому можем записать На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций. Пусть, например, y=u·v·w. Тогда, y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '. Доказательство формулы 5. Пусть . Тогда При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0. Примеры. 1. Если , то 2. y = x³ – 3x² + 5x + 2. Найдем y '(–1). y ' = 3x² – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14. 3. y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x. 4. 5. Таким образом, 6. Аналогично для y= ctgx, ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции. Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g '(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f '(x₀), равную , т.е. справедлива формула . Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y₀, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x₀=g(y₀). Следовательно, при Δx→0 Δy→0. Покажем, что . Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. . Следовательно, , что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде . Рассмотрим применение этой теоремы на примерах. Примеры. 1. y = e^x. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме Итак,

(ex) ' = ex

2. Аналогично можно показать, что (a^x) ' = a^x·lna. Докажите самостоятельно.

3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

.

Но на (–π/2; π/2) .

Поэтому

4. Аналогично

Докажите самостоятельно.

y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg yмонотонна. По ранее

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Далее работаем с правой частью формулы .

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке :

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

33) Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвёртого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( yV или y(5)– производная пятого порядка). Пусть функция y = f(x) задана неявно в виде уравнения F(x, y) 0 . Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение относительно y , найдём производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. Вторая производная зависит от x , y и y . Подставляя уже найденное значение y в

выражение второй производной, выразим y через x и y .

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего и более высокого

порядков.

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f (t). Как уже известно,

производная S′t равна скорости точки в данный момент времени: S′t = v.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения

прямолинейного движения точки, т.е. S′′t = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна v, а в момент t + Δt – скорость равна v + Δv,

т.е. за промежуток времени Δt скорость изменилась на величину Δv.

Отношение Δt/Δv выражает среднее ускорение движения точки за время Δt. Предел этого

отношения при Δt → 0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается

буквой а: Lim Δv/Δt=a, где Δt стремиться к 0. То есть v′ = а. Но v = S′t. Поэтому а = (S′t)′, т.е. а = S′′t

34) Производная параметрически заданной функции.

В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде . Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений при задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.