Выбор шага интегрирования
Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага интегрирования h. Можно доказать [2], [3], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h, а метода Рунге-Кутта – порядок . Т. е. для достижения одной и той же точности в методе Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта.
Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на примере метода Рунге-Кутта. Пусть – заданная точность решения задачи Коши. Поскольку
(где c=const), то начальное значение
можно выбрать из неравенства
(4.8)
При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо одновременное выполнение условия:
(целое число). (4.9)
Кроме того, для подсчета погрешности метода Рунге-Кутта по формуле (4.7), нужно будет сделать просчет по формулам (4.5), (4.6) с шагом 2h. Поэтому необходимо также, чтобы отношение было четным.
После выбора начального значения шага проводится его уточнение. Для этого из точки
просчет по формулам (4.5), (4.6) выполняется дважды сначала с шагом h, а затем из той же точки с шагом 2h. При этом получаются два значения решения задачи (
и
) в одной и той же точке
. Если
, то
можно выбрать в качестве шага интегрирования, иначе необходимо уменьшить h в два раза и повторить процедуру проверки.
Задание на лабораторную работу
1. Из табл. 4.1 выбрать свой вариант задания (
).
Таблица 4.1
Варианты заданий
№ | ![]() | a | b | ![]() | № | ![]() | a | b | ![]() |
![]() | 3,4 | ![]() | 2,8 | ||||||
![]() | 3,8 | ![]() | 4,4 | ||||||
![]() | 1,6 | ![]() | 3,8 | ||||||
![]() | 3,2 | ![]() | 2,6 | ||||||
![]() | 1,8 | ![]() | 5,4 | ||||||
![]() | 5,4 | ![]() | 3,6 | ||||||
![]() | 5,2 | ![]() | 3,4 | ||||||
![]() | 1,8 | ![]() | 3,8 | ||||||
![]() | 1,6 | ![]() | 5,2 | ||||||
![]() | 6,4 | 0.5 | ![]() | 4,6 | |||||
![]() | 1,6 | ![]() | 2,8 | ||||||
![]() | 4,6 | ![]() | 4,8 | ||||||
![]() | 1,8 | ![]() | 2,6 | ||||||
![]() | 5,6 | ![]() | 2,8 | ||||||
![]() | 4,6 | ![]() | 0,6 | 2,2 |
2. Выбрав в качестве начального шага интегрирования и
, решить задачу Коши на отрезке
методом Эйлера и определить по формуле (4.4) относительную погрешность найденного решения.
3. Выбрав в качестве начального шага интегрирования , решить задачу Коши на отрезке
методом Рунге-Кутта.
4. Построить на миллиметровой бумаге графики решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта.
5. Продолжить работу в компьютерном классе.
6. Выписать значения «точного решения», полученного на компьютере с помощью стандартной функции odesolve системы Mathcad, в промежуточных точках для . Построить график решения по этим точкам.
7. Используя найденные в п.6 значения, составить таблицу локальных абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта на МК.
8. Выписать автоматически полученные на компьютере в разделе «Метод Рунге-Кутта» значения решения задачи Коши на отрезке методом Рунге-Кутта с начальным шагом интегрирования
и, используя формулу (4.7), определить относительную погрешность данного решения.
9. Оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица с решением задачи Коши методом Эйлера с шагом и
; относительная погрешность найденного решения методом Эйлера; таблица с решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом
; полученное на компьютере точное решение задачи Коши; таблица абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта; абсолютные погрешности этих решений; таблица с компьютерным решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом
; относительная погрешность найденного решения методом Рунге-Кутта.