Состоит в построении общего решения (1) в виде
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении
Соответствующего однородного уравнения
на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно
.
Если — первообразные для
, взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
Является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
состоит в построении общего решения (1) в виде
где — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция
, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением
. Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при
имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица называется матрицей Коши оператора
.
3. Ряд Фурье
Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом
в виде ряда
Этот ряд может быть также записан в виде
где
— амплитуда
-го гармонического колебания,
— круговая частота гармонического колебания,
— начальная фаза
-го колебания,
—
-я комплексная амплитуда
Тригонометрический ряд Фурье
Основная статья: Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида
![]() | (1) |
где
Числа ,
и
(
) называются коэффициентами Фурье функции
. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию
в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты
,
и
. Если умножить правую часть (1) на
и проинтегрировать по промежутку
, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент
. Аналогично для
Ряд (1) сходится к функции в пространстве
. Иными словами, если обозначить через
частичные суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением
.
Мы также рассматриваем систему функций
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
,
где ряд в правой части сходится к по норме в
. Здесь
.
Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
· Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и
не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.
Сходимость ряда Фурье
Сходимость ряда Фурье