Дифференциальное исчисление

Министерство образования Российской федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра математического анализа

Резников Е.А.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Сборник домашних контрольных заданий

для студентов-заочников

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

УДК 510(022)(076.5)

Резников Е.А. Высшая математика: Сборник домашних контрольных заданий для студентов-заочников. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. – 19 с.

Сборник домашних контрольных работ состоит из четырех контрольных работ по следующим темам: «Элементы линейной алгебры, векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральной исчисление функции одной переменной».

Задания составлены в соответствии с требованиями государственного общеобразовательного стандарта высшего профессионального образования.

Одобрено объединенным научно-методическим советом по математике и механике.

Рецензенты:

© Издательство ЮУрГУ, 2007.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

В соответствии с учебным планом студенты-заочники выполняют контрольные работы по курсу высшей математики. Данный сборник контрольных заданий содержит контрольные работы, выполняемые на первом курсе. В первом семестре выполняются первая и вторая, во втором семестре - третья и четвертая контрольные работы.

Контрольная работа должна удовлетворять следующим требованиям:

1) Работу рекомендуется выполнять в ученической тетради в клеточку, авторучкой с синей или черной пастой. Цветную пасту можно употреблять для рисунков, графиков и т.п.

2) Нужно оставить свободное место за полями. Если в тетради нет черты, ограничивающей поле, ее следует провести.

3) Обязательно записать полностью условия всех решаемых задач – по тексту методического пособия.

4) Задачи (и их решения) следует располагать в том порядке, в каком они даны в методическом пособии.

5)Записи вести аккуратно, разборчивым почерком. Зачеркивания, помарки, обширные исправления не допускаются. Графики рисовать аккуратно, с указанием (и соблюдением) масштаба. Черновики не присылать!

6) Решения должны сопровождаться краткими, но вразумительными объяснениями, в необходимых случаях должны быть ссылки на учебник. Например, “составляем уравнение прямой, проходящей через две точки…”, ”в силу геометрического смысла векторного произведения…”, “По определению непрерывности функции в точке…” и т.п.

7) Объяснения должны относиться строго к тексту задачи и, соответственно, к теме разделу вузовского учебника. Формулы сокращенного умножения, решение квадратных уравнений и теорему Пифагора объяснять не нужно.

8) При работе над ошибками – читать замечания и указания проверяющего и, по возможности, выполнять их в работе, присылаемой на повторную проверку – вместе с предыдущей работой!

9) Перед отправкой работы необходимо проверить (по учебнику или словарю) правильность написания таких слов как “предел”, “эллипс”, “асимптота”, “дифференциал” и т.п. Грамматические ошибки в математических терминах приравниваются к ошибкам в ходе решения.

10) Берегите время! При несоблюдении требований 1-9 работа может быть возвращена без проверки для повторного выполнения.

На внешней обложке тетради следует указать фамилию и инициалы студента, полный учебный шифр и дату отправки работы в университет.

Студент выполняет тот вариант задачи контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Цифра 0 соответствует варианту № 10.

Литература:

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.

2.Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Основы математического анализа.

3.Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Линейная алгебра

ЗАДАЧА 1

Вычислить определитель.

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. . 1.7. . 1.8. . 1.9. . 1.10. .

ЗАДАЧА 2

Найти матрицу Х из матричного уравнения (решать, используя обратную матрицу).

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

ЗАДАЧА 3

Решить систему уравнений методом Гаусса.

3.1. . 3.2. . 3.3. .

3.4. . 3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. . 3.9. .

3.10. .

Векторная алгебра

ЗАДАЧА 4

Найти площадь и длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах .

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10. .

ЗАДАЧА 5

Даны вершины треугольника А, В, С. Найти косинус угла ВАС, проекцию стороны АВ на сторону АС и площадь треугольника АВС.

5.1. A(1;–2;3); B(0;–1;2); C(4;0;4). 5.2. A(0;–3;6); B(–12;–3;–3); C(–9; –3;–6).

5.3. A(3;3;–1); B(5;5;–2); C(4;1; 1). 5.4. A(–1;2;–3); B(3;4;–6); C(1;1;–1).

5.5. A(–4;–2;0); B(–1;–2;4); C(3;–2;1). 5.6. A(5;3;–1); B(5;2;0); C(6;4;–1).

5.7. A(–3;–7;–5); B(0;–1;–2); C(-5;-6;-6). 5.8. A(3;3;–1); B(1;–5;2); C(4;4;1).

5.9. A(2;1;–1); B(6;–1;–4); C(4;2;1). 5.10. A(3;–6;9); B(0;–3;6); C(5;-3;7).

ЗАДАЧА 6

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A, B, C, D.

6.1. A(14;4;5), B(–5;–3;2), C(–2;–6;–3), D(–2;2;–1).

6.2. A(1;2;0), B(3;0;–3), C(5;2;6), D(8;4;–9).

6.3. A(2;–1;2), B(1;2;–1), C(3;2;1), D(–4;2;5).

6.4. A(2;–1;2), B(1;2;–1), C(3;2;1), D(–4;2;5).

6.5. A(1;1;2), B(–1;1;3), C(2;–2;4), D(–1;0;–2).

6.6. A(2;3;1), B(4;1;–2), C(6;3;7), D(7;5;–3).

6.7. A(1;5;–7), B(–3;6;3), C(–2;7;3), D(–4;8;–12).

6.8. A(–3;4;–7), B(1;5;–4), C(–5;–2;0), D(2;5;4).

6.9. A(–1;2;–3), B(4;–1;0), C(2;1;–2), D(3;4;5).

6.10. A(4;–1;3), B(–2;1;0), C(0;–5;1), D(3;2;–6).

Аналитическая геометрия

ЗАДАЧА 7

7.1. Даны вершины треугольника А(1;2), В(5;10), С(11;4). Найти уравнение высоты, опущенной из вершины В.

7.2. Даны вершина треугольника А(3;4), В(8;12), С(11;8). Найти уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В.

7.3. Даны вершины треугольника А(4;5), В(8,13), С(14;7). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

7.4. Даны вершины треугольника А(–3;3), В(4;4), С(–1;12). Найти уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС.

7.5. Даны вершины треугольника А(1;1), В(7;9), С(–3;2). Найти длину высоты, опущенной из вершины С.

7.6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(1;–1). Найти уравнения двух других его сторон.

7.7. Даны вершины треугольника А(0;1), В(4;9), С(10;3). Найти острый угол между высотой, опущенной из вершины А и стороной АВ.

7.8. Найти проекцию точки Р(–8;2) на прямую .

7.9. Даны две вершины треугольника А(–10;2), В(6;4). Его высоты пересекаются в точке D(5;2). Определить координаты третьей вершины С.

7.10. Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точки А(1;–1) и В(5;7).

ЗАДАЧА 8

8.1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки .

8.2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельной оси ОХ.

8.3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельной оси ОУ.

8.4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельной оси ОZ.

8.5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и ось ОХ.

8.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и ось ОУ.

8.7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и ось ОZ.

8.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной плоскостям

8.9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам .

8.10. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки .

ЗАДАЧА 9

9.1. Найти проекцию точки Р(6;4;7) на плоскость .

9.2. Найти проекцию точки Р(10;6;7) на плоскость .

9.3. Найти проекцию точки Р(–2;11;7) на плоскость .

9.4. Найти проекцию точки Р(10;7;–7) на плоскость .

9.5. Найти проекцию точки Р(–4;7;5) на плоскость .

9.6. Найти проекцию точки Р(2;–1;3) на прямую .

9.7. Найти проекцию точки Р(5;6;–9) на прямую .

9.8. Найти проекцию точки Р(5;5;–4) на прямую .

9.9. Найти проекцию точки Р(6;–16;5) на прямую .

9.10. Найти проекцию точки Р(3;2;6) на прямую .

ЗАДАЧА 10

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

10.10.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Введение а анализ

ЗАДАЧА 11

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

11.1. . 11.2. . 11.3. .

11.4. . 11.5. . 11.6. .

11.7. . 11.8. . 11.9. .

11.10. .

ЗАДАЧА 12

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

12.1. . 12.2. . 12.3. .

12.4. . 12.5. . 12.6. .

12.7. . 12.8. . 12.9. .

12.10. .

ЗАДАЧА 13

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

13.1. . 13.2. . 13.3. .

13.4. . 13.5. . 13.6. .

13.7. . 13.8. . 13.9. . 13.10. .

ЗАДАЧА 14

14.1. . 14.2. .

14.3. . 14.4. . 14.5. .

14.6. . 14.7. . 14.8. .

14.9. . 14.10. .

ЗАДАЧА 15

Найти предел, используя эквивалентность бесконечно малых функций.

15.1. . 15.2. . 15.3. .

15.4. . 15.5. . 15.6. . 15.7. . 15.8. . 15.9. . 15.10. .

ЗАДАЧА 16

Задана функция . Исследовать точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

16.1. . 16.2. . 16.3. . 16.4. .

16.5. . 16.6. . 16.7. . 16.8. .

16.9. . 16.10. .

ЗАДАЧА 17

17.1. 17.2.

17.3. 17.4. 17.5. 17.6. 71.7.

17.8. 17.9.

17.10.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Дифференциальное исчисление

ЗАДАЧА 18

Показать, что функция удовлетворяет соответствующему дифференциальному уравнению.

18.1. . 18.2. .

18.3. 18.4.

18.5. 18.6.

18.7. 18.8.

18.9.

18.10.

ЗАДАЧА 19

Найти производную функции.

19.1. 19.2.

19.3.

19.4.

19.5.

19.6. .

19.7. 19.8.

19.9. 19.10.

ЗАДАЧА 20

Найти производную от функции, заданной неявно.

20.1. 20.2.

20.3. 20.4.

20.5. 20.6.

20.7. 20.8.

20.9. 20.10.

ЗАДАЧА 21

Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

21.1. 21.2. 21.3. 21.4.

21.5. 21.6. 21.7. 21.8.

21.9. 21.10.

ЗАДАЧА 22

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

22.1. 22.2.

22.3. 22.4. 22.5. 22.6. 22.7.

22.8. 22.9.

22.10.

ЗАДАЧА 23

Найти предел по правилу Лопиталя.

23.1. 23.2. 23.3.

23.4. 23.5. 23.6.

23.7. 23.8. 23.9.

23.10.

ЗАДАЧА 24

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

24.1. 24.2.

24.3. 24.4.

24.5. 24.6.

24.7. 24.8.

24.9. 24.10.

ЗАДАЧА 25

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

25.1. . 25.2. . 25.3. .

25.4. . 25.5. . 25.6. .

25.7. . 25.8. . 25.9. . 25.10. .

ЗАДАЧА 26

Провести полное исследование функции и построить ее график.

26.1. 26.2. 26.3.

26.4. 26.5. 26.6.

26.7. 26.8.

26.9. 26.10.

ЗАДАЧА 27

27.1. 27.2. 27.3.

27.4. 27.5. 27.6. 27.7. 27.8. 27.9. 27.10.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Интегралы

ЗАДАЧА 28

Найти интеграл.

28.1. . 28.2. . 28.3. .

28.4. . 28.5. . 28.6. .

28.7. . 28.8. . 28.9. .

28.10. .

ЗАДАЧА 29

Найти интеграл.

29.1. . 29.2. . 29.3. . 29.4. .

29.5. . 29.6. . 29.7. .

29.8. . 29.9. . 29.10. .

ЗАДАЧА 30

Найти интеграл.

30.1. . 30.2. . 30.3. .

30.4. . 30.5. . 30.6. .

30.7. . 30.8. . 30.9. .

30.10. .

ЗАДАЧА 31

Найти интеграл.

31.1. . 31.2. .

31.3. . 31.4. .

31.5. . 31.6. . 31.7. .

31.8. . 31.9. . 31.10. .

ЗАДАЧА 32

Вычислить интеграл.

32.1. . 32.2. . 32.3. . 32.4. .

32.5. . 32.6. . 32.7. . 32.8. .

32.9. . 32.10. .

ЗАДАЧА 33

Вычислить интеграл.

33.1. . 33.2. . 33.3. .

33.4. . 33.5. . 33.6. . 33.7. . 33.8. .33.9. . 33.10. .

ЗАДАЧА 34

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

34.1. . 34.2. . 34.3. .

34.4. . 34.5. .

34.6. . 34.7. .

34.8. . 34.9. . 34.10. .

ЗАДАЧА 35

Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

35.1. . 35.2. . 35.3. . 35.4. .

35.5. . 35.6. . 35.7. . 35.8. . 35.9. . 35.10. .