Примеры для экзаменационных билетов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ИнЭИ (в.о)

Семестр, 22, 2016/2017 уч. год

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

1. Предел функции в точке. Единственность предела, ограниченность функции, имеющей предел.

2. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Свойства бесконечно малых функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пределу в неравенствах.

3. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, о непрерывности сложной функции.

4. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые, их таблица. Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов.

5. Сравнение бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.

6. Односторонние пределы. Точки разрыва функций, их классификация. Предел функции в бесконечности.

7. Производная, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Таблица производных.

8. Дифференцируемость функции, дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Геометрический смысл дифференциала.

9. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

10. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

12. Производная функции, заданной параметрически.

13. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

14. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

15. Правило Лопиталя.

16. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Представление функций по формуле Тейлора.

17. Условия возрастания и убывания функций на интервале.

18. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

19. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

20. Исследование на экстремум с помощью производных высших порядков. Общая схема исследования функции и построения графика.

21. Первообразная функции. Теорема об общем виде первообразной. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

22. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

23. Определенный интеграл, его геометрический и физический смысл. Свойства определенного интеграла.

24. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

25. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

26. Интегрирование рациональных выражений.

27. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.

28. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых и полярных координатах.

29. Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной в декартовых и полярных координатах или параметрически.

30. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

I. Вычислить предел функции.

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.

II. Найти производную.

9.

10.

11.

III. Найти производную .

12.

IV. Найти вторую производную.

13.

V. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

14.

15.

VI. Написать формулу Тейлора n-го порядка в точке x₀.

16.

VII. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

17.

18.

19.

VIII. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

20.

IX. Провести полное исследование функции и построить график.

21.	22.	23.
24.	25.

X. Найти интеграл.

26.	27.	28.	29.
30.	31.	32.	33.
34.

XI. Вычислить интеграл.

35.	36.
37.	38.

XII. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми.

39.	40.
41.

XIII. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически.

42.

43.

XIV. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

44.

45.

XV. Вычислить длину дуги кривой.

46.

47.

XVI. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

48.

49.

50.