Математические модели с использованием сетей Петри
Сети Петри являются эффективным инструментом дискретных процессов, в частности, функционирования станочных систем. Их особенность заключается в возможности отображения параллелизма, асинхронности и иерархичности.
На рис. 4 приводится сети Петри, где Р — конечное непустое множество позиций (состояний); Т — конечное непустое множество переходов (событий), причем и
— функции входных и выходных инциденций;
— начальная маркировка. Вершины сети
изображены кружками, а вершины
— черточками (маркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции
. Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переходt может сработать при маркировке
если он является возбужденным:
![]() | (13.10) |
Рис. 4. Сеть Петри
Данное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (13.10), маркировку заменяют маркировкой
по следующему правилу:
![]() | (13.11) |
По этому правилу в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p,t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t,p) маркеров. Это означает, что маркировка непосредственно достижима из маркировки
Функционирование сети Петри — последовательная смена маркировок в результате срабатывания возбужденных переходов.
Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика сети Петри — граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети. Такой граф имеет вершины, которые являются возможными маркировками. Маркировки и
соединяются в направлении t дугой, помеченной символами перехода
или
. Маркировка
такая последовательность переходов:
является достижимой из маркировки
если существует, что
.
В качестве примера рассматривается сеть Петри, изображенная на рис. 4.
, где Р = {Р1, Р2, Р3, Р4, Р5},
. Функции F и Н заданы матрицами 2
P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | ||||||||
H = | t1 | |||||||||||
t2 | ||||||||||||
t3 | ||||||||||||
t4 | ||||||||||||
t1 | t2 | t3 | t4 | |||||||||
F = | P1 | |||||||||||
P2 | ||||||||||||
P3 | ||||||||||||
P4 | ||||||||||||
P5 | ||||||||||||
Фрагмент графа достижимости для сети Петри приведен на рис. 5.
Рис. 5. Фрагмент графа достижимости сети Петри
Структурные модели
Структурные или структурно-логические модели, согласно ГОСТ 14.416-83, подразделяются на табличные, сетевые и перестановочные. Сетевыеопределяются строками булевой матрицы (таблица 3).
Здесь Si — свойства моделей, влияющих на содержание проектирования; F(S) — набор свойств, если все графы объектов Ак, проектируемых по данной модели, простые пути или цепи, Fg = 1 и Fg = 0 в противном случае; Fn — набор свойств, учитывающих число элементов во всех вариантах объектов Ak ( Fn = 1 — число элементов во всех ai одинаково, Fn = 0 — в противном случае); — набор свойств, учитывающих отношения между любыми элементами объекта
во всех вариантах объектов Аk (
— отношение не меняется,
— в противном случае); Fа — набор свойств, учитывающих состав элементов ai в Аk ( Fа = 1 — состав одинаков, Fа = 0 — в противном случае).
Таблица 3. | |||||
Fg | Fa | ![]() | Fn | ||
[Si x F(S)] = | S1 | ||||
S2 | |||||
S3 | |||||
S4 | |||||
S5 | |||||
S6 | |||||
S7 | |||||
S8 | |||||
S9 | |||||
S10 | |||||
S11 | |||||
S12 |
В матрице (3) модели класса Si называют табличными. В табличной модели каждому набору свойств F(Аk) соответствует единственный вариант проектируемого объекта Аk, поэтому табличные модели используют для поиска стандартных, типовых и готовых решений. Модели остальных классов применяют для получения типовых унифицированных и индивидуальных проектных решений при наличии их вариантов и необходимости оптимизации решения. Модели классов S2 , S5 , S7 , S8 и S11 называют сетевыми. Структура элементов сетевой модели описывается ориентированным графом, не имеющим ориентированных циклов. В этой модели может содержаться несколько вариантов проектируемого объекта Аk, однако во всех вариантах сохраняется неизменным соотношение порядка между входящими элементами. Модели классов S3 , S4 , S6 , S9 , S10 и S12 называютперестановочными. Соотношение порядка между элементами проектируемого объекта Аk в перестановочных объектах обычно задается с помощью графа, содержащего ориентировочные циклы, причем все варианты объектов Аk, проектируемые по перестановочным моделям, различаются порядком между элементами, входящими в них.
Объектом проектирования Аk может быть технологический процесс, операция или технологический переход. Если рассматривать технологический процесс в качестве объекта проектирования, то операции будут элементами. При проектировании операции элементами будут технологические переходы.
Если Аk должен содержать фиксированный набор элементов то
Если Аk может содержать любой элемент , то
А если какой-либо единственный элемент , то
При обработке группы деталей на токарном прутковом автомате с помощью табличной модели устанавливается последовательность обработки поверхностей. Каждая деталь имеет поверхности F1, F2, ...., F8 с определенными свойствами, поэтому состав свойств поверхностей, относящихся к группе деталей, будет
Если ввести совокупность свойств более высокого уровня:
а если совокупность свойств деталей 1-й, 2-й, 3-й групп (соответственно, элементам а1, а2, а3 группы А деталей, т. е. ), то получим