Действия над событиями. Полная группа событий
Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.
Определение 1. Размещением из n элементов по m
называется любой упорядоченный набор из m
различных элементов, выбранных из генеральной
совокупности в n элементов.
Пример 1.Различными размещениями из трех
элементов {1, 2, 3} по два будут наборы
(1,2), (2,1), (1, 3), (3,1), (2,3),(3,2). Размещения
могут отличаться друг от друга как элементами,
так и их порядком. Число размещений обозначается
и вычисляется по формуле:
Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется
любой неупорядоченный набор из m различных элементов,
выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 2. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются
{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:
Определение 3. Перестановкой из n элементов
называется любой упорядоченный набор этих элементов.
Пример 3. Всевозможными перестановками множества,
состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Число различных перестановок из n элементов
обозначается и вычисляется по формуле
Случайный эксперимент. Примеры.
Случайным экспериментом или испытанием
называется осуществление какого-либо
комплекса условий, который можно практически или
мысленно воспроизвести сколь угодно
большое число раз. Основные особенности:
множественность исходов, непредвиденность
результата,многократность повторения
(при одних и тех же условиях),
наличие определённых закономерностей при
многократном повторении.
Примеры случайного эксперимента: подбрасывание
монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды.
Случайные события. Виды случайных событий.
Действия над событиями. Полная группа событий.
Противоположные события.
Результат (исход) испытания называется
событием
Виды событий: Различают события
совместные и несовместные. События называются совместными,
если наступление одного из них не исключает наступления другого.
В противном случае события называются несовместными.
Событие называется достоверным, если оно
обязательно произойдет в условиях данного опыта.
Событие называется невозможным, если
оно не может произойти в условиях данного опыта.
Событие называется возможным, или случайным,
если в результате опыта оно может появиться,
но может и не появиться. События называются равновозможными,
если по условиям испытания ни одно из этих
событий не является объективно более возможным,
чем другие. Важным понятием является полная группа событий.
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу,
если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
Введем понятие противоположного, или дополнительного, события.
Под противоположным событием понимается событие,
которое обязательно должно произойти, если не наступило
некоторое событие . Противоположные события несовместны
и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.
Действия над событиями:
Суммой, или объединением, нескольких событий
называется событие, состоящее в наступлении
хотя бы одного из этих событий.
Произведением, или пересечением, нескольких событий
называется событие, состоящее в совместном
появлении всех этих событий.
4. Классическое определение вероятности. Привести пример.
Вероятность события равна отношению числа случаев
,
благоприятствующих ему, из общего числа единственно
возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.
(
.)
Пример вопросу №4. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид
электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным
образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность,
что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?
5. Геометрическая вероятность. Привести пример.
Пусть на плоскости задана некоторая область площадью
,
в которой содержится другая область площадью
(рис. 3).
В область наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того,
что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу
брошенная точка может попасть в любую точку области , и
вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна
площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае
вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область
Таким образом, в общем случае, если возможность
случайного
появления точки внутри некоторой области на прямой,
плоскости или в пространстве определяется не положением
этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной
, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной
точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера
этой области к размеру всей области, в которой может
появляться данная точка.Это есть геометрическое определение вероятности.