Порядок старшинства операций

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких или даже всех пяти логических операций, причём каждая из операций может применяться несколько раз.

Если в выражении встречаются различные логические операции, то порядок старшинства операций (их приоритет) следующий (понижение приоритета слева™направо): . Это означает, что сначала выполняются операции отрицания, затем конъюнкции и т.д. Для нарушения порядка выполнения логических операций служат скобки.

Истинность или ложность сложного высказывания можно установить, решая задачу «по действиям».

Рассмотрим примеры.

Задача 2. Пусть высказывания А и В имеют значения «истина», а высказывания C и D – «ложь». Какое значение имеет высказывание?

Решение.

В соответствии с порядком старшинства логических операций будем решать задачу «по действиям», используя таблицы истинности логических операций.

1) - «истина».

2) - «ложь».

3) - «истина».

4) - «ложь».

5) - «ложь».

Задача 3. Пусть высказывания А и В имеют значения «истина», а высказывания C и D – «ложь». Какое значение имеет высказывание ?

Решение.

1) - «истина».

2) - «ложь».

3) - «ложь».

4) - «истина».

5) - «истина».

Если в выражении присутствуют арифметические операции, операции сравнения и логические операции, то приоритет следующий:

- сначала выполняются арифметические операции; порядок старшинства арифметических операций (слева™направо): умножение, деление, сложение, вычитание;

- затем – операции =, ¹ и операции сравнения (<, £, ³, >) в том порядке, в каком они встречаются в выражении;

- и, наконец, выполняются логические операции в соответствии с приоритетом

(понижение приоритета слева™ направо): .

Основные законы математической логики

• Коммутативность: , .
• Ассоциативность: , .
• Дистрибутивность: , .
• Законы де Моргана: , .
• Закон поглощения: .
• Закон идемпотентности: .
• «истина» = А, «ложь» = «ложь»
• «истина» = «истина», «ложь» = А.
• Закон противоречия: «ложь».
• Закон исключения третьего: «истина».
• Закон двойного отрицания: .

Парадоксы логики

Парадоксы логики или семантические парадоксы - это «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам.

Хотя логика и является основой всех остальных наук, тем не менее, присущее ей, наряду с фундаментальностью, свойство самоочевидности привело к отсутствию глубоких исследований вплоть до XIX столетия, когда интерес к логике оживился под влиянием неевклидовых геометрий (геометрии Лобачевского), а также необходимости строгого обоснования математического анализа. Особый же всплеск внимания к логике возник на исходе XIX века: мир был поражён открытием парадоксов логики, то есть рассуждений, приводящих к противоречиям. Эти парадоксы обычно называют семантическими парадоксами.

Парадокс лжеца.Некто утверждает: «Я лгу». Если утверждение «я лгу» истинно («я лгу» = «истина»), то это означает, что он действительно лжёт о том, что лжёт, т.е. утверждение «я лгу» – ложно. Получается, что высказывание «я лгу» и истинно, и ложно одновременно.

Парадокс брадобрея. Командир полка назначает одного из солдат брадобреем, приказывая при этом брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами. Что же делать брадобрею с самим собой? Если он – брадобрей – будет бриться сам, то это означает, что брадобрей бреет того, кто бреется сам. Он нарушит приказ командира. Но если он не будет сам бриться, значит, его должен побрить брадобрей, т.е. он сам. Получается, что он должен брить и не брить себя одновременно.