Приложение производной функции одной переменной

Теорема Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением, может быть, самой точки и непрерывны в этой окрестности (включая саму точку ), причем и = =0. Тогда, если существует , то существует и эти пределы равны, то есть

.

Таким образом, для нахождения предела (для раскрытия неопределенности типа ( )) достаточно найти производные числителя и знаменателя дроби и вычислить предел .

Такое же правило применяется при , а также для раскрытия неопределенностей типа ( ).

Замечание. Если производные числителя и знаменателя в свою очередь стремятся к нулю или , то описанное правило применяется повторно и так далее.

Пример.Вычислить .

Решение.

.

Пример.Вычислить .

Решение.

= .

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то наибольшее и наименьшее значения она принимает или на концах этого отрезка, или в точках ее экстремума. Следовательно, для решения поставленной задачи надо найти значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку. Затем из них выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Определяем критические, или стационарные, точки функции :

; ; ; .

Рассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку . Такой точкой является точка .

Вычисляем значения функции на концах промежутка и в точке :

1) ;

2) = ;

3) = .

Ясно, что наибольшее значение функции будет равно , которое она принимает в точке ; наименьшее значение принимается функцией в точке и равно .

Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:

1) Найти область определения функции.

2) Найти точки пересечения с осями координат.

3) Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, периодической или непериодической.

4) Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции.

5) Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

6) Найти асимптоты графика функции.

7) Используя результаты исследований, построить график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак, .

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: , .

Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - , , , ;

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .

3) Функция четная, так как (поэтому ее график будет симметричен относительно оси OY).

Функция непериодическая.

4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Имеем =0. Следовательно, точки , , будут подозрительными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки , , , и исследуем функцию для . Информация о поведении функции на интервале необходима для анализа функции в точке . По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:

	Возрастает		Убывает		Возрастает

5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: .Находим точки, в которых или не существует.

при .

Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:

	Выпукла	Перегиб	Вогнута	Перегиб	Выпукла

6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось.

Найдем наклонную асимптоту :

= .

Следовательно, наклонных асимптот нет.

7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).

Рис. 1

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки . Итак, .

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - .

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .

3) Функция общего вида, так как .

Функция непериодическая.

4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Имеем .

Следовательно, точка будет подозрительной на экстремум. Точка , в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки , , и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:

				нет
	Убывает		Возрастает	нет	Убывает

5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:

.

Находим точки, в которых или не существует: при , не существует при .Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:

				нет
	Вогнута	Перегиб	Выпукла	нет	Выпукла

6) Найдем вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции в окрестности точки :

; .

Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: .

Найдем наклонную асимптоту :

;

.

Следовательно, наклонная асимптота: .

7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).

Рис. 2