Вычисление статистических показателей вариационного ряда с использованием начальных моментов по способу произведений

3.1 Начальные моменты

m_a = ∑(x_j − x₀)^a n_j / ∑n, (3.1)

где ma − начальный момент некоторой степени a;

xj − варианты ряда распределения;

xo − начальное значение, относительно которого вычисляются начальные моменты;

nj − численности ряда распределения по интервалам;

∑n − сумма численностей.

k = xj − xo / i (3.2)

Таблица 3.1 Вычисление начальных моментов по способу произведений для диаметра

Диаметр xj, см	Численность nj, шт	kj	njkj	njkj2	njkj3	njkj4
9,0		-7	-7		-343
11,0		-6	-54		-1944
13,0		-5	-50		-1250
15,0		-4	-24		-384
17,0		-3	-42		-378
19,0		-2	-38		-152
21,0		-1	-28		-28
23,0
25,0

Продолжение таблицы 3.1

27,0
29,0
31,0
33,0
35,0
37,0
Всего		−	-35		-909

m₁ = ∑n_jk_j / ∑n = -35 / 200 = -0,175 (3.3)

m₂ = ∑n_jk_j² / ∑n = 1725 / 200 = 8,625 (3.4)

m₃ = ∑n_jk_j³ / ∑n = -909 / 200 = -4,545 (3.5)

m₄ = ∑n_jk_j⁴ / ∑n = 42069 / 200 = 210,345 (3.6)

3.2 Статистические показатели

М = x o ± im1, (3.7)

где xo − условно взятая начальная варианта, относительно которой вычисляются моменты;

i − величина интервала;

m1 − первый начальный момент.

M = 23,0 − 2 ∙ 0,175 = 22,65 ≈ 22,7 см.

σ = i √m2 − m1² (3.8)

σ = 2 √8,625 − (-0,175)² = 5,86 см.

σ’= √m2 − m1² (3.9)

σ’ = √8,625 − (-0,175)² = 2,93

3.3 Центральные моменты

µ₂ = m2 − m1²; (3.10)

μ3 = m3 −3m2m1 + 2m1³; (3.11)

µ₄ = m₄ − 4m₃m₁ + 6m₂m₁² − 3m₁^{4 (3.12)}

^{где μ2, μ3, μ4 − соответственно второй, третий и четвёртый центральные моменты;}

^{m1, m2, m3, m4 − соответственно первый, второй, третий и четвёртый начальные моменты.}

^{μ2 = 8,625 − (-0,175)² = 8,594}

^{μ3 = -4,545 − 3 ∙ 8,625 ∙ (-0,175) + 2(-0,175)³ = -0,027}

µ₄ = 210,345 − 4 ∙ (-4,545)(-0,175) + 6 ∙ 8,625 (-0,175)² − 3(-0,175)⁴ = 208,745

3.4 Основные моменты

r_a = µ_a / (√µ₂)^{a (3.13)}

r₃ = µ₃ / (√µ₂)³ = -0,027/ (√8,594)³ = -0,001

r₄ = µ₄ / (√µ₂)⁴ = 208,745 / (8,594)² = 2,826

3.5 Мера косости и крутости кривой распределения

α₁ = r₃ = -0,001

Кривая распределения имеет малую отрицательную косость.

m_α ≈ √(6/N)

m_α = √(6/200) = 0,173

t’_α = α₁ / m_α = 0,001 / 0,173 = 0,006

Вывод недостоверный, косость ряда распределения по диаметру не доказана и объясняется случайными причинами.

j = r₄ − 3 (3.14)

j = 2,826 − 3 = -0,174

Кривая распределения имеет незначительную отрицательную крутость.

m_j ≈ 2√(6/N)

m _j= 2√(6/200) = 0,346

t’_j = j / m_j = 0,174 / 0,346 = 0,51

Вывод недостоверный. Отклонение крутости данной кривой от нормальной не доказано.

Таблица 3.2 Вычисление начальных моментов по способу произведений для высоты

Высота yj, м	Численность nj, шт	kj	njkj	njkj2	njkj3	njkj4
8,0		-7	-7		-343
10,0		-6	-6		-216
12,0		-5	-20		-500
14,0		-4	-24		-384
16,0		-3	-30		-270
18,0		-2	-44		-176
20,0		-1	-32		-32
22,0
24,0

Продолжение таблицы 3.2

26,0
28,0
30,0
Всего		−	-49		-1519

m₁ = ∑n_jk_j / ∑n = -49 / 200 = -0,245

m₂ = ∑n_jk_j² / ∑n = 687 / 200 = 3,435

m₃ = ∑n_jk_j³ / ∑n = -1519 / 200 = -7,595

m₄ = ∑n_jk_j⁴ / ∑n = 9891 / 200 = 49,455

M = 22 − 2 ∙ 0,245 = 21,51 ≈ 21,5 м.

σ = 2 √3,435 − (-0,245)² = 3,67 м.

σ’ = √3,435 − (-0,245)² = 1,84

µ₂ = 3,435 − (-0,245)² = 3,375

µ₃ = -7,595 − 3 ∙ 3,345 ∙ (-0,245) + 2(-0,245)³ = -5,099

µ₄ = 49,455 − 4 ∙ (-7,595)(-0,245) + 6 ∙ 3,435 ∙ (-0,245)² − 3(-0,245)⁴ = 43,139

r₃ = µ₃ / (√µ₂)³ = -5,099 / (√3,375)³ = -0,820

r₄ = µ₄ / (√µ₂)⁴ = 43,139 / (3,375)² = 3,787

α₁ = r₃ = -0,820

Кривая распределения имеет среднюю отрицательную косость.

m_α = √(6/200) = 0,173

t’_α = α₁ / m_α = 0,820 / 0,173 = 4,739

∑ j = 3,787 − 3 = 0,787

Кривая распределения имеет положительную крутость.

m_j = 2√(6/200) = 0,346

t’_j = j / m_j = 0,787 / 0,346 = 2,28

Вывод недостоверный. Отклонение крутости данной кривой от нормальной не доказано.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ВЫБОРКИ НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ СПОСОБОМ

Таблица 4.1 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждому десятому диаметру)

№	диаметр xj, см	xj- M	(xj- M)2	№	диаметр xj, см	xj- M	(xj- M)2
	21,8	-2,0	4,00		13,0	-10,8	116,64
	28,5	4,7	22,09		29,5	5,7	32,49
	22,3	-1,5	2,25		22,5	-1,3	1,69
	18,0	-5,8	33,64		19,5	-4,3	18,49
	23,0	-0,8	0,64		28,0	4,2	17,64
	23,5	-0,3	0,09		20,0	-3,8	14,44
	36,0	12,2	148,84		30,0	6,2	38,44
	19,0	-4,8	23,04		22,5	-1,3	1,69
	21,5	-2,3	5,29		27,0	3,2	10,24
	22,0	-1,8	3,24		28,0	4,2	17,64
				всего	475,6	─	512,52

M = ∑x _j / ∑n (4.1)

M = 475,6 / 20 ≈ 23,8 см.

σ = √ ∑(x_j − M)² / ∑n − 1 (4.2)

σ = √ 512,52 / 20 − 1 = 5,19 см.

m_M = σ / √ ∑n

m_M = 5,19 / √20 ≈ 1,16 см.

M ± m_M = 23,8 ± 1,16 см.

C = σ 100 / M

C = 5,19 ∙ 100 / 23,8 = 21,8 %

p = m_M ∙ 100 / M

p = 1,16 ∙ 100 / 23,8 = 4,9 %

t₁ = M / m_M

t₁ = 23,8 / 1,16 = 21

Среднее значение является достоверным.

Таблица 4.2 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждому двадцатому диаметру)

№	диаметр xj, см	xj- M	(xj- M)2
	28,5	5,4	29,16
	18,0	-5,1	26,01
	23,5	0,4	0,16
	19,0	-4,1	16,81
	22,0	-1,1	1,21
	29,5	6,4	40,96
	19,5	-3,6	12,96
	20,0	-3,1	9,61
	22,5	-0,6	0,36

Продолжение таблицы 4.2

	28,0	4,9	24,01
всего	230,5	−	161,61

M = 230,5 / 10 = 23,05 ≈ 23,1 см.

σ = √ 161,61 / 10 − 1 = 4,24 см.

m_M = 4,24 / √10 ≈ 1,34 см.

M ± m_M = 23,1 ± 1,34 см.

C = 4,24 ∙ 100 / 23,1 = 18,4 %

p = 1,34 ∙ 100 / 23,1 = 5,8 %

t₁ = 23,1 / 1,34 = 17

Среднее значение является достоверным.

Определение достоверности различия средних значений двух выборок

t = (M₁ − M₂) / √(m₁² + m₂²) ≥ tst, (4.3)

где М1, М2 − средние значения соответственно первой и второй выборок;

m1, m2 − основные ошибки;

tst − стандартное значение по Стьюденту.

t = (23,8 − 23,1) / √(1,34² + 1,16²) = 0,40

U = n₁ + n₂ − 2

U = 20 + 10 − 2 = 28

t_st для трех уровней вероятности безошибочного заключения составляет 2,1; 2,8; 3,7.

t < t_st

Различие между двумя средними не доказано.

Оценка различия средних квадратичных отклонений двух малых выборок.

F = σ₁² / σ2²; (4.4)

где σ1, σ2 − средние квадратичные отклонения первой и второй выборок, а σ1² и σ2² их дисперсии.

F = 5,19² / 4,24² = 1,50

U₁ = n₁ − 1 = 19

U₂ = n₂ − 1 = 9

F _0,05 = 2,9

F < F _0,05

Различие дисперсий двух малых выборок при 5%-ном уровне значимости не доказано.

Таблица 4.3 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждой десятой высоте)

№	высота yj, м	yj- M	(yj- M)2	№	высота yj, м	yj- M	(yj- M)2
	21,6	-0,8	0,64		16,4	-6,0	36,00
	27,0	4,6	21,16		26,4	4,0	16,00
	23,4	1,0	1,00		19,1	-3,3	10,89
	16,7	-5,7	32,49		18,0	-4,4	19,36
	22,5	0,1	0,01		24,5	2,1	4,41
	23,0	0,6	0,36		20,5	-1,9	3,61
	29,5	7,1	50,41		25,0	2,6	6,76
	17,8	-4,6	21,16		23,7	1,3	1,69

Продолжение таблицы 4.3

	22,4				24,0	1,6	2,56
	23,8	1,4	1,96		23,1	0,7	0,49
				всего	448,4	─	230,96

M = 448,4 / 20 = 22,42 ≈ 22,4 м.

σ = √ 230,96 / 20 − 1 = 3,49 м.

m_M = 3,49 / √20 ≈ 0,78 м.

M ± m_M = 22,4 ± 0,78 м.

C = 3,49 ∙ 100 / 22,4 = 15,6 %

p = 0,78 ∙ 100 / 22,4 = 3,5 %

t₁ = 22,4 / 0,78 = 29

Среднее значение является достоверным.

Таблица 4.4 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждой двадцатой высоте)

№	высота yj, м	yj- M	(yj- M)2
	27,0	5,0	25,00
	16,7	-5,3	28,09
	23,0	1,0	1,00
	17,8	-4,2	17,64
	23,8	1,8	3,24
	26,4	4,4	19,36
	18,0	-4,0	16,00
	20,5	-1,5	2,25
	23,7	1,7	2,89

Продолжение таблицы 4.4

	23,1	1,1	1,21
всего	220,0	─	116,59

M = 220 / 10 = 22,0 м.

σ = √ 116,59 / 10 − 1 = 3,60 м.

m_M = 3,60 / √10 ≈ 1,14 м.

M ± m_M = 22,0 ± 1,14 м.

C = 3,60 ∙ 100 / 22,0 = 16,4 %

p = 1,14 ∙ 100 / 22,0 = 5,2 %

t₁ = 22,0 / 1,14 = 19

Среднее значение является достоверным.

Определение достоверности различия средних значений двух выборок

t = (22,4 − 22,0) / √(0,78² + 1,14²) = 0,29

U = 20 + 10 − 2 = 28

t < t_st

Различие между двумя средними не доказано.

Оценка различия средних квадратичных отклонений двух малых выборок.

F = 3,6² / 3,49² = 1,06

U₁ = n₁ − 1 = 19

U₂ = n₂ − 1 = 9

F _0,05 = 2,9

F < F _0,05

Различие дисперсий двух малых выборок при 5%-ном уровне значимости не доказано.