Функциональное пространство

Модуль О Отображение

Вход

Модули ОСП, ОТН

Выход

Понятия

Отображение (о.)

Тождественное о. Композиция о. Обратное о. Обратимое о.

Инъективное о. Сюръективное о. Биективное о.

Сужение о. Продолжение о.

Оператор (о.) Функционал (ф.) Функция

О. умножения Интегральный о. Интегральный ф. d- функция

Дирака

Множество

S(X,Y) Подмножество

Функциональное пространство

S(T,R) S(T,P)

S[a, b] l B[a, b] C[a,b] C^k[a,b] С^∞ [a,b]

L₁[a,b] L_p [a,b] l_∞ l_p l₁

Элемент множества

Параметрическое высказывание Оператор

УравнениеОператор Правая часть Решение

уравнения уравнения уравнения

Параметры	Понятие, обозначение	Определяющее понятиеи видовые свойства
X Î ObS	Тождественное о., I (Ix)	ОтображениеI(x) = x:X®X
AÎ S(X,Y), BÎ S(Y,Z)	Композиция отображений А и В, ВА	ОтображениеВА(х) = В(А(х)):X®Z
AÎ S(X,Y)	Обратное о., А-1	ОтображениеA -1Î S(Y,X) ú A А-1 = Iy & А-1A = Ix
AÎ S(X,Y)	Обратимое о.	ОтображениеА, для которого существует обратное о.
AÎ S(X,Y)	Инъективное о.	ОтображениеА: x1 ¹ x2 Þ Ax1 ¹ Ax2
AÎ S(X,Y)	Сюръективное о.	ОтображениеА: A(X) = Y
AÎ S(X,Y)	Биективное о.	ОтображениеA, которое одновременно инъективно и сюръективно
AÎ S(X,Y), U Í X	Сужение о. А на подмножество U, Aú U	ОтображениеAú U Î S(U,Y): Aú U(x) = A(x) " x Î U
AÎ S(X,Y), X Í U	Продолжение о. А на надмножество U, Aú U	ОтображениеAú U Î S(U,Y): Aú U(x) = A(x) " x Î X
AÎ S(X,Y)	Оператор (о.)	ОтображениеА, для которого X и Y - ф. п.
AÎ S(X,P)	Функционал	ОтображениеА, для которого X - функциональное пространство, а Р- числовое поле
XÎObS	Функция	ОтображениеAÎ S(X,R)
X=Y= C[a,b] aÎX	О. умножения, Аа	ОператорA аÎ S(X): (Ааx) (t) = a(t) x(t)
kÎ S([c,d]´ [a,b])	Интегральный оператор	Оператор(Ax)(t) = , t Î [c,d]
	Дифференциальный о.	ОператорAx = dx/dt
fÎ S[a,b]	Интегральный функционал	ФункционалFx =
	d - функция Дирака	ФункционалFx = x(0)
X , YÎ ObS	Функциональное пространство (ф.п.)	Подмножествов S(X,Y)
a,b Î R	Ф.п. ограниченных на отрезке функций, B[a,b]	Ф. п. Í S[a,b], состоящее из всех ограниченных функций x:[a,b]®P
a,b Î R	Ф.п. непрерывных на отрезке функций, С[a,b]	Ф. п. Í S[a,b], состоящее из всех непрерывных функций x:[a,b]®P
a,b Î R	Ф.п. k раз непрерывно дифференцируемых на отрезке функций, Сk[a,b]	Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из всех k раз непрерывно дифференцируемых функций x:[a,b]®P
a,b Î R	Ф.п. бесконечно дифференцируемых на отрезке функций, С∞ [a,b]	Ф. п. Í S[a,b], состоящее из всех бесконечно дифференцируемых функций функций x:[a,b]®P
	Ф.п. суммируемых последовательностей, l1	Ф. п. Íl, состоящее из всех суммируемых последовательностей (т.е. таких x = {xk }Î l, что )
p³1	Ф.п. суммируемых в p-й степени последовательностей, lp	Ф. п. Íl, состоящее из всех последовательностей с суммируемой p-й степенью (т.е. таких x = {xk}Î l, что )
	Ф.п. ограниченных последовательностей, l¥	Ф. п. Íl, состоящее из всех ограниченных последовательностей (т.е. таких x = {xk }Î l, что sup{|xk|: kÎN} < ¥)
a,b Î R	Ф.п. суммируемых на отрезке функций, L1[a,b]	Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из всех суммируемых функций x:[a,b]®P (т.е. ¥)
a,b Î R	Ф.п. суммируемых в p-й степени на отрезке функций, Lp[a,b]	Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из всех суммируемых в p-й степени функций x:[a,b]®P (т.е. таких x, что )
X,Y Î ObS AÎ S(X,Y) = - равенство в Y x Î X, y Î Y	Уравнение, Ax = y	Параметрическое высказывание Ax = y
Ax = y - уравнение	Оператор уравнения	ОператорAÎ S(X,Y)
Ax = y - уравнение	Правая часть уравнения	Элементy Î Y
Ax = y - уравнение	Решение уравнения	Элементx Î X , при котором высказывание Ах = у истинно (т.е. <Ax, y> Î =)

Утверждения

УТВ О - 1 Свойства композиции отображений

1.1Композиция ассоциативна: (АВ)С = А(ВС)

1.2 Композиция, вообще говоря, не коммутативна

1.3 Композиция сюръективных отображений сюръективна

1.4 Композиция инъективных отображений инъективна

1.5 Композиция биективных отображений биективна

УТВ О - 2 Свойства обратного отображения

2.1 Обратимость отображения эквивалентна его биективности

2.2 Отображение, обратное к данному, единственно

2.3 Композиция обратимых отображений обратима и (ВА)^-1 = А^-1 В ^-1

УТВ О - 3 Вложения функциональных пространств

3.1. S[a, b] É B[a, b] É C[a,b] É C^k[a,b] É С^∞ [a,b]

3.2. 1 < p < q Þ l₁ Ì l_p Ì l_q Ì l_∞ Ì l

3.3. 1 < p < q Þ S[a, b] É L₁[a,b] É L_p [a,b] É L_q [a,b]

УТВ О-4 Связь свойств оператора уравнения с разрешимостью уравнения

Пусть Ax = y -уравнение. Тогда:

4.1. А инъективен Û Уравнение Ax = yне может иметь более одного решения"yÎY

4.2. А сюръективен Û Уравнение Ax = yимеет решение при "yÎY

4.3 А биективен Û Уравнение Ax = yпри "yÎY имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле x = A^-1y, где A^-1- обратный оператор

Умения

УМ О-1 Даны о. Аи аргумент х.Найти значение Ах.

УМ О-2 Даны два (несколько) отображения. Найти значение композиции отображений на данном аргументе.

УМ О-3 Дано отображение А.Найти условие обратимости Аи найти A^-1 .

УМ О-4 Дано ф. п. Хи элемент х.Определитьистинность высказывания x Î Х

УМ О-5 Дано уравнение Аx = y. Найти условия разрешимости уравнения, пользуясь УТВ О-4.

Примеры

ПР О-1 Дано: А: С[0,1] ®C[0,1], , t Î [0,1] , x(t) = t. Найти значение Ах.

Решение. Аx(t) =

ПР О-2 Даны: X = C[0,1], A: X ® X, , t Î [0,1], Bx(t) = tx(t): X®X ,
Fx = x(1) : X® R, x(t) = t. Найти FABx и FBAx.

Решение. 1. Bx(t) = t² ; ABx(t) = FABx = 1/4. Аналогично: FBAx = 1/3.

ПР О-3 Дано: А_a: С[0,1] ®C[0,1], aÎ С[0,1]. Найти необходимое и достаточное условие обратимости А_aи найти А_a^-1.

Решение. Решим уравнение А_a x= y: ax = y Û x = (1/a)y (a(t) > 0 " t или a(t) < 0 " t - необходимое и достаточное условие обратимости А_a) Û А_a^-1 = A_1/a.

ПР О-4 Дано X = l₂ , x= {x_k = }. Определить истинность высказывания xÎ l₂ .

Решение. Þ высказывание xÎ l₂ ложно.

ПР О-5. Дано уравнение Аx = y. Найти условия разрешимости уравнения, пользуясь УТВ О 4. Пусть X=Y=l₁; A:X®X; Ax = {0,x₁,x₂,…}.

Решение. 1. Если x = {x₁,x₂,x₃,…}Îl₁, то y = {1,x₂,x₃,…}Îl₁ \ imA Ü(определение сюръективного о.)Þ А не является сюръективным о. Ü(УТВ О-4.2)Þ $ правая часть yÎY, для которой уравнение Аx = yне имеет решения. ImA = {yÎl₁ | y₁ = 0}=(определение образа о., imA)Þ для "правой части yÎimA уравнение Аx = yимеет решение, т.е. условие разрешимости: y₁ = 0.

2. Если x = {x₁,x₂,x₃,…}¹ y = {y₁,y₂,y₃,…}=(покоординатное равенстово в пространстве l₁)Þ Ax = {0,x₁,x₂,…} ¹ Ay = {0,y₁,y₂,…}=(определение инъектитвного о.)Þ А инъективное о.
Ü(УТВ О-4.1)Þ уравнение Ax = yне может иметь более одного решения "yÎY ¨