Б3. 7. Непрерывные и ограниченные операторы

БЛОК 3

Б3. 6. Операторы в нормированном пространтсве

ОПР1. Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое , причем при этом выполнены следующие условия:

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние . Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1) – 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.

ОПР. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

ОПР: Оператором называется отображение где - некоторые пространства.

Область определения оператора - множество, на котором задано действие оператора, область значений оператора .

Обычно мы будем иметь дело со случаем H=G.

ОПР: Операторы называются равными, если:

ОПР: Оператор называется расширением А, а А – сужением (обозначается ), если:

ОПР: Оператор А называется непрерывным в точке если для всякого найдется такое , что если

ОПР: Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке D(A).

ОПР: Линейный оператор –это многомерный аналог функции одной переменной, графиком которой служит прямая, проходящая через начало координат, то есть функций для некоторого .

ОПР: Оператор L с областью определения D(L) называется линейным, если для всех и всех :

.

Многие и весьма разнообразные уравнения представимы в виде

Где L – линейный оператор.

Пусть А – линейный оператор. Будем говорить, что А имеет обратный, если для каждого существует точно одно , такое что . При этом под обратным понимается оператор с областью определения и множество значений D(A), заданный соотношением где .

Вопрос существования обратного оператора – это вопрос об условиях разрешимости операторного уравнения (*)

В конечномерном случае эти условия формулировала альтернатива Фредгольма.

Теорема Фредгольма (альтернатива).

Если уравнение имеет только тривиальное решение, то уравнение (*) разрешимо единственным образом при любой правой части.

Теорема Фредгольма.

Если уравнение имеет нетривиальное решение, то (*) разрешимо (заведомо не единственным образом) тогда и только тогда, когда ортогональна всем решениям сопряженной однородной задачи.

Линейный оператор А называется ограниченным, если существует такое, что для любого : .

Точная нижняя грань inf(С) всех чисел С,для которых выполняется это неравенство, обозначается и называется нормой оператора. Равносильное определение таково:

.

Приведем несколько свойств ограниченных операторов.

Лемма 1.Если линейный оператор непрерывен в некоторой точке , то он непрерывен на D(A).

Лемма 2. Для линейных операторов непрерывность равносильна ограниченности.

Пример неограниченного оператора.

. Пусть

Для ограниченного оператора существует , следовательно, доказывать можно “от противного “.

Доказано.

Б3. 7. Непрерывные и ограниченные операторы

Определение: Оператор ограничен, если .

Определение: Оператор непрерывен в точке , если .

Теорема: Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.Доказательство:

1. — ограничен, значит,

.

А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.

2. Пусть — непрерывен на X, в частности, в , тогда:

Подставляем в определение

§ Для условие ограничения будет соблюдено при любом .

§ Для рассмотрим Но . Значит, , таким образом,

Выберем , и получим, что оператор ограничен.