Постановка задачи задания №2

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями надежности R_i(t), для каждого из элементов, где ;

Определить вероятность того, что в интервале (0;β) часов откажут

а) только один элемент;

b) только два элемента;

c) только три элемента.

d) только четыре элемента;

i) все m элемента .

Дано:

m = 5; α₁ = 0,33; α₂ = 0,43; α₃ = 0,13; α₄ = 0,48; α₅ = 0,53; β = 5;

Решение

атематическая часть

Введем обозначения:

– A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ – событие, состоящее в том, что отказал только один элемент, только два, три, четыре, все пять элементов, ни один элемент не отказал.

– p₁, p₂, p_3,, p₄, p₅ – вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го,4-го,5-го элемента в заданном интервале (0;5) соответственно; тогда

– q₁, q₂, q₃, q₄, q₅ – вероятность безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го,4-го,5-го элемента в заданном интервале (0;5) соответственно;

Вероятность p₁ отказа 1-го элемента в заданном интервале (0;5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₂ отказа 2-го элемента в заданном интервале (0;5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₃ отказа 3-го элемента в заданном интервале (0;5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₄ отказа 4-го элемента в заданном интервале (0;5) будет равна:

, следовательно:

Вероятность p₅ отказа 5-го элемента в заданном интервале (0;5) будет равна:

, следовательно:

.

асчетная часть

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находится следующим образом:

Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0;5) будет равна:

Вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0;5) будет равна:

Вероятность отказа только трех элементов в заданном интервале (0;5) будет равна:

Вероятность отказа только четырех элементов в заданном интервале (0;5) будет равна:

Вероятность отказа всех пяти элементов в заданном интервале (0;5) будет равна:

Вероятность безотказной работы всех пяти элементов за время испытания в заданном интервале (0;5) будет равна:

.

Вывод

На основании изложенного можно заключить, что при заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0;5) наиболее вероятным являются отказ только четырех элементов, а наименее вероятным является отказ одного элемента, так как:

Вероятность того, что все пять элементов безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0;5) является небольшой, а именно:

.

Приложение:

1. Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

,

где = Ø при .

Если события A₁, A_2,…, образуют полную группу несовместных событий, то . В частности, события и образуют полную группу и несовместны, поэтому . Если обозначить , то .

2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них и условных вероятностей остальных событий, вычисленных при условии, что все предшествующие события произошли, т. е.

… .

События и называются независимыми, если . Тогда , т.е. независимость событий взаимная. События A₁, A_2,…,

называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любые комбинации их совместной реализации являются независимыми событиями. Для независимой в совокупности системы событий справедливо равенство

.

Если любые два события системы независимы, то система событий называется попарно независимой.

Список использованных источников:

1. А. П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике» 4-е издание, «Высшая школа», 2007.

2. «Авиация: Энциклопедия» М.: Большая Российская энциклопедия, 1994 г.

3. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров «Теория вероятностей и её инженерные приложения» 4-е издание, «Высшая школа», 2007 г.

4. Интернет источник http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_tech/2812.