Определение реакции четырехполюсника

КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1.8.1. ПРЕДШЕСТВУЮЩИЙ

И ПОСЛЕКОММУТАЦИОННЫЙ РЕЖИМЫ

Примем момент скачкообразного изменения входного сигнала за нуль. Тогда по левую сторону от будет находиться предшествующий режим, а по правую – послекоммутационный (режим после изменения или правой части уравнения (1.24)). Поскольку в точке сходятся два процесса, то она принадлежит обоим процессам и имеет особый статус. Для внесения определенности в статус этой точки в электротехнике момент коммутации на оси времени представляют как совокупность двух точек: и . Точка принадлежит предшествующему режиму, а – послекоммутационному. Соответственно представляются и все остальные величины, характеризующие процесс. Например, значение электрической величины в момент определяется как предельное значение при подходе к точке слева

,

а в момент – как предельное приближение справа по оси (рис. 1.10)

.

1.8.2. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Основной закон коммутации можно выразить следующим образом: переменные состояния системы не могут изменяться скачком.

В электротехнике переменными состояния являются потокосцепление (ток в индуктивности при ) и заряд (напряжение на емкости при ). Применительно к ним законы коммутации формулируются следующим образом (рис. 1.11):

1. Потокосцепление (ток в индуктивности ) не может изменяться скачком, т.е. в момент коммутации выполняются следующие равенства:

, (1.40)

. (1.41)

2. Заряд конденсатора (напряжение на емкости ) не может изменяться скачком, т.е. в момент коммутации справедливы следующие зависимости:

, (1.42)

. (1.43)

1.8.3. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Есть особые случаи, когда законы (1.40) - (1.43) нарушаются. Для этих случаев формулируют обобщенные законы коммутации.

1. Если в схеме после коммутации образовался контур, состоящий из индуктивных элементов или из индуктивных элементов и источников тока, то в момент коммутации алгебраическая сумма потокосцеплений упомянутого контура непрерывна

. (1.44)

Потокосцепление индуктивности берется со знаком "+", если направление обхода контура совпадает с принятым направлением тока в индуктивности.

Пример 1.9. Определить токи в индуктивностях в момент , если (рис. 1.12).

Ток . После размыкания ключа индуктивность стремится поддерживать ток , а индуктивность – ток . Поскольку индуктивности составляют последовательную цепь, то по закону Кирхгофа их токи в момент должны быть одинаковы: , что нарушает закон (1.41), так как , а . Поэтому нужно применить обобщенный закон (1.44)

.

Подставим известные величины, тогда получим систему уравнений

откуда следует, что

2. Если в схеме после коммутации образовались контуры, состоящие только из емкостей или из емкостей и источников напряжения, то в момент коммутации алгебраическая сумма зарядов емкостей, присоединенных к общему узлу, непрерывна

. (1.45)

Знак заряда считается положительным, если напряжение на емкости направлено от узла.

Пример 1.10. Найти напряжения на конденсаторах в момент , если и (рис. 1.13).

В этой схеме не выполняются законы (1.42) и (1.43). Применим обобщенный закон (1.45) для узла а, получим

. (1.46)

Кроме того, должен выполняться второй закон Кирхгофа

. (1.47)

Подставим в (1.46) и (1.47) известные значения

Совместное решение уравнений дает следующий результат:

.

1.8.4. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Решение неоднородного уравнения (1.24) состоит из совокупности частных решений

.

Принужденная составляющая определяется непосредственно из уравнения (1.25) по виду правой части (п. 1.7.2). Для определения постоянных интегрирования необходимо составить систему из уравнений

(1.48)

Величины , , ..., называются начальными условиями; они определяются из уравнений четырехполюсника, составленных по законам Кирхгофа после коммутации с учетом переменных состояния.

1.8.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

НА ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Для определения реакции выполняются следующие действия:

1. Составляется система дифференциальных уравнений четырехполюсника и преобразуется к уравнению типа "вход-выход".

2. Определяется решение однородного уравнения (свободный режим):

а) формируется характеристическое уравнение и находятся его корни;

б) по корням характеристического уравнения определяется вид общего решения .

3. Определяется частное решение неоднородного уравнения (принужденный режим):

а) записывается правая часть уравнения ;

б) по виду и с учетом корней характеристического уравнения определяется вид частного решения ;

в) частное решение подставляется в неоднородное уравнение, и тем самым определяются произвольные постоянные, присутствующие в .

4. Составляется система уравнений для определения про­извольных постоянных общего решения однородного
уравнения.

5. По схеме до коммутации определяются переменные состояния в момент .

6. Записываются уравнения четырехполюсника после коммутации для . Используя переменные состояния и уравнения системы, определяются необходимые начальные условия: , , ..., , где число произвольных постоянных, подлежащих определению.

Пример 1.12. Определить реакцию четырехполюсника (рис. 1.14) на входное воздействие . Параметры цепи: , . До коммутации четырехполюсник находился под воздействием напряжения .

1. Составляем дифференциальное уравнение цепи. Четырехполюсник описывается следующими уравнениями:

, (1.49)

, (1.50)

, (1.51)

. (1.52)

Подставим (1.52) в (1.49)

. (1.53)

Неизвестный ток найдем из уравнений (1.50) и (1.51)

. (1.54)

С учетом (1.54) уравнение (1.53) примет следующий вид:

.

Дифференцируя два раза, получим

. (1.55)

Подставляя в (1.55) исходные данные, получим искомое дифференциальное уравнение типа "вход-выход"

.

2. Решаем однородное уравнение (определяем свободную состав­ляющую)

.

Составим характеристическое уравнение

.

Корни кратные, кратность . Общее решение будет иметь вид

. (1.56)

3. Определяем частное решение неоднородного уравнения (принужденную составляющую)

. (1.57)

Правая часть (1.57) равна . В соответствии с (1.36) частное решение

.

Подставив его в (1.57), получим уравнение для определения

.

Откуда следует, что . Тогда

. (1.58)

4. Составим систему уравнений для определения произвольных постоянных и . Согласно (1.26), (1.56) и (1.58)

.

Поскольку искомых постоянных только две, то система (1.48) примет следующий вид:

, (1.59)

. (1.60)

5. Определим переменные состояния. Для этого рассматриваем схему до коммутации. Учитывая, что до коммутации на входе четырехполюсника действовало постоянное напряжение и процесс носил установившийся характер, получаем, что ток в цепи

. (1.61)

Тогда из (1.49) с учетом того, что , следует:

В, (1.62)

а из (1.61)

. (1.63)

6. Определим начальные условия и . Для этого воспользуемся уравнением (1.49). Учитывая (1.50), (1.62) и (1.63), получаем

. (1.64)

Чтобы найти , продифференцируем (1.49)

. (1.65)

Из (1.52) следует, что , а из (1.50) и (1.51) . Поэтому согласно (1.65)

. (1.66)

Решая совместно (1.59), (1.60), (1.64) и (1.66), получим

, .

График изменения сигнала на выходе четырехполюсника представлен на рис. 1.15.