Решение уравнений многомерных систем

(СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ВЫХОДАМИ)

Пусть как и прежде – входной, – выходной и – промежуточные сигналы четырехполюсника. Тогда система дифференциальных уравнений четырехполюсника может быть записана в виде

(1.67)

где – правые части, зависящие только от входного сигнала . Уравнения (1.67) для компактности можно записать в векторной форме

, (1.68)

где

.

Решение системы (1.68) состоит из совокупности векторов-решений

,

(где – произвольные постоянные) однородной системы

(1.69)

и частного вектора-решения неоднородного уравнения (1.68)

.

Здесь

,

где , – частные решения. Индекс соответствует номеру искомой переменной, а индекс – номеру частного решения.

1.9.1. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ

(СВОБОДНЫЙ РЕЖИМ)

Вид частных решений системы (1.69) определяет характеристическое уравнение

, (1.70)

где – единичная матрица. В развернутой форме (1.70) примет следующий вид:

. (1.71)

А. Корни характеристического уравнения

различные и действительные

В этом случае корням соответствуют частные решения

,

где – произвольные постоянные.

Пример 1.13. Найти вид свободного решения системы

(1.72)

Характеристическое уравнение системы имеет вид

.

Отсюда . Этим корням соответствуют частные решения

.

Для определения вида свободной составляющей, соответствующей корню , подставим в (1.72)

Отсюда .

Второе уравнение является следствием первого, поэтому один из коэффициентов можно взять произвольно; примем . Тогда . Следовательно, первое частное вектор-решение будет

.

В случае корня поступим аналогично предыдущему

откуда , .

Второе уравнение снова является следствием первого. Тогда произвольно примем . Следовательно, второе частное вектор-решение будет

.

Таким образом, общее решение системы (1.72) имеет следующий вид:

или

Б. Корни характеристического уравнения действительные, кратные

Пусть является r-кратным корнем характеристического уравнения (1.71). В этом случае также имеем п частных решений

,

где коэффициенты , как и прежде, – произвольные постоянные.

Пример 1.14. Найти общее решение системы

(1.73)

Характеристическое уравнение системы имеет вид

.

Его корни . Вектор-решение запишется как

. (1.74)

Коэффициенты определяются подстановкой (1.74) в (1.73) аналогично примеру 1.13

. (1.75)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в системе (1.75), получим следующие системы для определения коэффициентов :

, (1.76)

. (1.77)

Поскольку уравнения системы (1.77) линейно зависимы, то коэффициент может быть произвольным, например . Тогда , а из (1.76) следует, что . Из-за линейной зависимости уравнений (1.76) коэффициенты и также произвольны; пусть , тогда . Таким образом, искомое свободное решение будет равно

.

В. Корни характеристического уравнения комплексные

Пусть таким корнем является , тогда ему соответствует сопряженный корень .

Общее решение системы в этом случае ищется в следующем
виде:

, (1.78)

где и – вещественная и мнимая части частного решения, соответствующего одному из корней (например, корню )

, (1.79)

где коэффициенты в общем случае будут комплексными.

Пример 1.15. Найти свободное решение системы

(1.80)

Характеристическое уравнение системы имеет вид

;

его корни .

Найдем частное решение для одного из корней, например для

.

Согласно (1.79)

. (1.81)

Подставим (1.81) в (1.80) и сократим на

(1.82)

Отсюда следует, что

,

причем – произвольное число (из-за линейной зависимости системы (1.82)).

Пусть , тогда . Частное решение (1.81) будет иметь следующий вид:

.

В соответствии с (1.78)

.

1.9.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ

НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ (ПРИНУЖДЕННЫЙ РЕЖИМ)

1. Если правая часть системы (1.68) состоит из функций

, (1.83)

то частное решение системы будет содержать составляющие вида

, (1.84)

где – кратность корня (если среди корней нет , то ). Здесь – порядок системы.

2. Если правая часть (1.68) содержит функции

или

,

то принужденное решение будет иметь следующие составляющие:

,

где .

Пример 1.16. Найти частное решение системы

(1.85)

Нетрудно видеть, что эта система заимствована из примера 1.13. Корни характеристического уравнения и не совпадают с показателями степеней экспонент правых частей: , . Согласно (1.83) и (1.84) можно записать

. (1.86)

Для определения постоянных подставим (1.86) в (1.85)

Приведя одинаковые члены, получим

Тогда принужденное решение системы будет иметь следующий вид:

.

* Переменными состояния являются ток в индуктивности и напряжение на емкости (более подробно см. разд. 1.8.2).