Решения дифференциального уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания

к самостоятельной работе студентов 1 – 2 курсов

всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения

ШАХТЫ 2001

СОСТАВИТЕЛИ

Доцент кафедры математики, к.т.н Алексеенко Л.Д.

Доцент кафедры математики , к.ф.-м.н. Михайлов А.Б.

Старший преподаватель кафедры математики Михайлова И.Д.

Доцент кафедры математики, к.т.н. Саакян Г.Р.

Методические указания предназначены для студентов 1 – 2 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения. Они имеют целью помочь студентам в самостоятельной работе, при подготовке к контрольным работам и/или к экзамену. Методические указания содержат теоретический материал по теме «Дифференциальные уравнения», образцы решения примеров, а также примеры для самостоятельного решения.

СОДЕРЖАНИЕ

Теория .......................................................................................................................4

Образцы решения примеров……………………...................................................11

Задачи для самостоятельного решения ,................................................................18

ТЕОРИЯ

Общие понятия

1. Дифференциальные уравнения и его порядок. В курсе элементарной математики вы встречались с уравнениями вида , содержащими неизвестную величину ; задача заключалась в том, чтобы найти все значения величины , удовлетворяющие заданному соотношению. Однако, ряд важных задач – как сомой математики, так и ее приложений – приводит к необходимости решать уравнения более сложного вида, где неизвестной является не величина , а некоторая функция , причем в уравнение входят, наряду с и , еще и производные до какого-то порядка . Приведем примеры таких уравнений:

.

Определение 1. Уравнение, связывающее независимую переменную с неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка включительно, называется дифференциальным уравнением (ДУ) -го порядка.

Подчеркнем: порядком ДУ называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в это ДУ.

Все приведенные выше уравнения являются дифференциальными, причем первое из них имеет порядок 1, второе – порядок 3, третье – порядок 2.

ДУ -го порядка записывают обычно в виде

. (1)

Если неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то его называют обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же уравнение содержит частные производные искомой функции, то его называют дифференциальным уравнением в частных производных. Здесь мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решения дифференциального уравнения

Определение 2. Решением ДУ (1) называется любая функция , дифференцируемая по крайней мере раз и такая, что при ее подстановке в уравнение (1) последнее обращается в тождество.

Так, для ДУ

(2)

решением является функция . Однако, это решение – не единственное: любая функция вида

, (3)

где C – постоянная, также является решением данного уравнения.

Можно показать, что никаких других решений, кроме (3), данное уравнение не имеет. В этом смысле формула (3) определяет общее решение уравнения (2).

Поскольку в выражение (3) для входит произвольная постоянная C, то говорят, что множество решений уравнения (2) зависит от одной произвольной постоянной С. Придавая C определенное числовое значение, мы будем получать конкретные или, как говорят, частные решения уравнения (2).

В качестве другого примера рассмотрим уравнение второго порядка

. (4)

Все решения этого уравнения могут быть найдены непосредственно. Из соотношения (4) находим и далее

, (5)

где и постоянные. Обратно, при любых значениях постоянных и функция является решением уравнения (4). Таким образом, формула (5) определяет общее решение уравнения (4). Как видим, оно зависит от двух произвольных постоянных и . При конкретных значениях и будем получать частные решения.

Понятия общего и частного решений ДУ в дальнейшем будут уточнены. Однако, одно важное обстоятельство можно отметить уже сейчас, исходя из приведенных примеров. А именно: общее решение зависит от стольких произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Частные же решения получаются из общего при конкретных значениях этих постоянных.

Процесс отыскания решений ДУ называют интегрированием этого уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

1. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Согласно определению, данному выше, общий вид ДУ первого порядка есть

.

Если это уравнение разрешить относительно , то оно запишется в виде

.

Мы уже отмечали, что ДУ имеет, как правило, бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества выделить какое-то конкретное решение, необходимо задать дополнительное условие. Чаще всего такое условие ставится в форме следующей задачи, называемой задачей Коши:

Требуется найти решение уравнения , которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение . Иначе говоря, требуется найти решение уравнения при начальном условии .

Теорема 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в некоторой окрестности начальной точки функция определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то существует такая окрестность точки , в которой задача Коши для уравнения с начальным условием имеет решение, и притом единственное.

График решения ДУ называется интегральной кривой этого уравнения. Каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное множество (или, как принято говорить, семейство) интегральных кривых. Так, например, для ДУ семейство интегральных кривых образуют параболы , где произвольная постоянная C принимает любые действительные значения. Через каждую точку плоскости проходит одна интегральная кривая этого семейства.

Решить задачу Коши геометрически означает: найти интегральную кривую уравнения , проходящую через заданную точку . Например, для задачи Коши искомой интегральной кривой будет парабола .