Теория погрешностей и машинная aрифметика

Томск -2015

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И МАШИННАЯ AРИФМЕТИКА

Задача 1.Дан ряд

Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда и найти величину погрешности при значениях N=10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм рядаили с использованием средств MATHCAD.

2. Используя функцию, вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях N.

3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности, относительную погрешность d и определить количество верных цифр в S(N).

4. Представить результаты в виде гистограмм.

Решение

Зададим количество частных сумм:

i:=0…4

Вычислим количество слагаемых:

N_i:=10ⁱ⁺¹

Проверим

Вычислим частные суммы ряда

Количество верных цифр определяется по правилу:

N первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого N-ой значимой цифрой.

Если для приближенного числа a, заменяющего точное A, известно, что , то первые n цифр числа a являются верными, где m – старший разрядв приближенном числе.

Частные суммы, написанные с соответствующим количеством верных цифр

Построим гистограммы:

Частная сумма	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность	Верные цифры числа
S(10)= 2.357142857142857	0.6	3*10-1	-
S(100)= 2.9134615384615388	0.1	3*10-2	2.9+-0.1
S(1000)= 2.991035856573709	9*10^-3	3*10-3	3.0
S(10000)= 2.9991003598560573	9*10^-4	3*10-4	3.00
S(100000)= 2.9999100035998634	9*10^-5	3*10-5	3.000

Задача 2. Дана функция . Значения переменных указаны со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя:

А) оценки погрещностей для арифметических операций;

Б) общую формулу погрешностей.

Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрещностей и с учётом верных цифр.

Решение:

Найдем значение функции при заданных значениях переменных:

a:=12.28

c:=12.19

f(a, b, c)= 126.83859029354672

А) Оценим погрешность для арифметических операций:

Вычислим погрешность всей функции:

Б) Оценим погешность, используя общую формулу погрешностей.

Задача 3. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

Решение

Найти значение машинной бесконечности.

Положим , где n – первое натуральное число, при котором происходит «переполнение».

Зададим общий вид машинной бесконечности.

Методом перебора найдем значение, при котором происходит переполнение.

Найти значение машинного нуля.

Положим , где m – первое натуральное число, при котором совпадает с нулем.

Зададим общий вид машинного нуля.

Методом перебора найдем значение, при котором выражение совпадает с нулем.

Найти значение машинного эпсилон.

Положим , где k – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+ ещё больше 1.

Зададим общий вид машинного эпсилон.

Зададим выражение, по которому будем вести поиск числа k.

Методом перебора найдем значение, при котором обращается в единицу.

Выводы:

1) Вычислили точное значение суммы ряда и значения частичных сумм. При помощи пакета MathCad определили относительную и абсолютную погрешности и нашли количество верных цифр. Построили гистограммы зависимости абсолютной и относительной погрешностей и количества верных цифр. Анализируя результаты, можно определить, что при увеличении количества слагаемых в частных суммах значения абсолютной и относительной погрешностей уменьшаются, следовательно, повышается точность вычислений.

2) Вычислили значение функции, используя два разных метода – с помощью определения погрешности арифметических операций и общей формулы погрешностей. Вследствие чего получены разные погрешности величины f при расчете через оценку погрешностей арифметических операций и при расчете по общей формуле.

3) Методом простого перебора найдены значения машинного нуля, машинной бесконечности и машинного эпсилон, которые равняются