Свойства производящих функций
Свойство 1.Производящая функция определена в области .
Свойство 2.Производящая функция
Свойство 3.Значение производящей функции в точке Z=1, P(1)=1. .
Свойство 4. Если Z=1, то MX=P’(1)
.
.
Свойство 5.
. Если Z=1 .
.
Следовательно, .
Свойство 6.Если Х1,Х2,…,Хn—независимые целочисленные случайные величины, то производящая функция .
.
Пример 1. Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли, т.е. μ~B(n,p)—биномиальное распределение с параметрами (n,p). Найти производящую функцию случайной величины μ.
, где μk—число успехов в каждом испытании
| μk | ||
| P | q | p |
Найдем производящую функцию случайной величины μk .
.
Пример 2. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром λ, т.е. . Найти производящую функцию случайной величины .
.
.
Распределение «xи квадрат».
Пусть Xi, —нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидании каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение (или дисперсия)—единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону Х2 с k=n степенями свободы. Если же эти величины Хi связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1.
Плотность этого распределения, где —гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n!
Отсюда видно, что распределение «x и квадрат» определяется одним параметром—числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Распределение Стьюдента.
Пусть Z—нормально распределенная величина, причем M(Z)=0, G2=1, т.е. Z~N(0,1), а V—независимая от Z величина, которая распределена по закону Х2 с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют t—распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В.Госсета), с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
Плотность распределения случайной величины t имеет вид , .
Случайная величина t имеет математическое ожидание Mt=0, (k>2).
Распределение Фишера.
Если U и V—независимые случайные величины, распределенные по закону Х2 со степенями свободы k1 и k2, то величина имеет распределение Фишера F со степенями свободы k1 и k2. Плотность этого распределения , где
.
Распределение Фишера F определяется двумя параметрами—числами степеней свободы.
Характеристические функции.
0. 1Случайная величина , где i—мнимая единица, т.е. ,а X и Y—действительные случайные величины, называется комплекснозначной случайной величиной. (i2= –1).
0. 2Математическим ожиданием комплекснозначной случайной величины Z называется . Все свойства математического ожидания остаются справедливыми для комплекснозначных случайных величин.
0. 3Комплекснозначные случайные величины Z1=X1+iY1 и Z2=X2+iY2 называются независимыми, если независимы соответственно .
Свойство комплекснозначных случайных величин.
Если комлекснозначные случайные величины Z1 и Z2—независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий, т.е. .
.
0. 4 Характеристической функцией случайной величиныназывается функция , где .
Формулы для вычисления характеристической функции.
Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения
| x1 | x2 | … | |
| Р | p1 | p2 | … |
.
Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .
Пример 1. Пусть —целочисленная случайная величина с производящей функцией . Тогда характеристическая функция случайной величины —производящая функция от аргумента .
Пример 2. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), т.е. . Найти характеристическую функцию . , m=0,1,2…,n.
.
.
Если t=0, то .
Из примера 1, § 12 найдена производящая функция случайной величины ,
, если .
Пример 3. Пусть случайная величина имеет пуассоновское распределение с параметром λ, т.е. . Найти характеристическую и производящую функции.
, m=0,1,2,…
Если
. t=0, .
Производящая функция .
Таблица 1. Производящие функции.
| Название распределения | Формула для | Производящая функция |
| Геометрическое | ,k=0,1,2,… pqk | |
| Биномиальное | , k=0,1,2…,n. | |
| Пуассоновское | , k=0,1,… |
Таблица 2. Характеристические функции.
| Название распределения | Формула для или плотности | Характеристическая функция |
| Биномиальное | , k=0,1,2… | |
| Пуассоновское | , k=0,1,2,.. | |
| Равномерное | , | |
| Равномерное | , | |
| Показательное | , | |
| Нормальное распределение |
Свойства характеристических функций.
Свойство 1.Характеристическая функция определена для любой случайной величины. При этом , .
.
.
Поскольку , то
Свойство 2.Характеристическая функция случайной величины , где a, b—некоторые числа.
.
.
Свойство 3.Если случайные величины —независимы, то характеристическая функция суммы данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е.
.
Свойство 4.Если М, характеристическая функция случайной величины n раз дифференцируема, причем , где .
Замечание. Необходимо отметить, что функция распределения величины однозначно определяется характеристической функцией. Таким образом, характеристическая функция является законом распределения случайной величины.
Законы больших чисел.
0. 1Последовательность случайных величин Х1, Х2,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если для любого положительного числа , т.е.
при . Обозначается .
0. 2 Говорят, что последовательность случайных величин Х1, Х2,… удовлетворяют закону больших чисел, если .
Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:
Для . .
{x││x-MX│≥ε}
{x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε}
.
Таким образом,
.