Инейные разностные уравнения второго порядка

Определение 1.3. Линейным разностным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

(1.7)

где – заданные функции от n. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае - не однородным.

Если и постоянные, то (1.7) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Уравнение (1.7) можно решить методами, аналогичными методам решения уравнений первого порядка. Полагая , можно выразить через и . Полагая , выразим через , а затем через и . Теоретически таким образом можно выразить через и . Однако вычисления при этом оказываются очень громоздкими, и вывести общую формулу для крайне трудно. Случай постоянных коэффициентов поддается решению общими методами.

Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

. (1.8)

Будем считать постоянными, причем .

Будем искать решение уравнения (1.8) в виде:

, (1.9)

где – некоторое число. Учитывая, что , из уравнения (1.8) получим:

,

или, (1.10)

Уравнение (1.10) называется характеристическим уравнением для разностного уравнения (1.8). Оно является квадратным и имеет следующие корни:

.

При решении характеристического уравнения следует рассматривать три случая. Два его корня могут быть действительными и различными (когда ); они могут быть действительными и равными между собой ( ) или же комплексными ( ).

Случай 1. Если , то описанный выше метод дает два решения уравнения (1.8): и . Общее решение имеет вид:

, (1.11)

где – произвольные постоянные.

Постоянные и можно выразить через значения . Полагая в решении (1.11) получаем:

или

Решая систему уравнений, находим:

, . (1.12)

Таким образом, если даны , то этим определено единственное решение уравнения (1.8).

Пример 1.7. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка Выписать общую формулу для , если и . Чему равно ?

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни

.

По формуле (1.11) общее решение имеет вид:

.

По формулам (1.12) находим:

.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является

.

При получаем .

Случай 2. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) равны между собой: . Рассмотренный метод порождает лишь одно решение . Однако, другим решением уравнения (1.8) служит .

Тогда общее решение можно записать в виде:

, (1.13)

где и – произвольные постоянные. Чтобы убедиться в этом, подставим (1.13) в (1.8). Получим:

Первые два слагаемых обращаются в нуль, т.к. . Третье слагаемое равно нулю, поскольку и .

Итак, получим, что формула (1.13) дает общее решение уравнения (1.8).

Полагая и в (1.13), получим:

Отсюда, , . (1.14)

Пример 1.8. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка . Найти , если и .

Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень . Поэтому общее решение уравнения имеет вид:

.

Полагая , , получаем и . Таким образом, . В частности, .

Случай 3. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) являются комплексно-сопряженными числами:

, , (1.15)

где – мнимая единица .

Общее решение уравнения (1.8) записывается в виде:

, (1.16)

где , – произвольные постоянные, .

Постоянные , можно выразить, как и прежде, через и .

Решение (1.16) разностного уравнения (1.8) обладает интересными свойствами. Так как и с увеличением колеблются между значениями -1 и 1, решение также колеблется несколько более сложным образом. Свойство этого решения покажем на примере.

Пример 1.9. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка . Найти , если , а .

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни , . Так как , , , то . Отсюда общее решение

.

Полагая и , получаем и . Искомое решение есть

.

В частности, , , , и т.д.

Пример 1.10. С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в школе ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя недель после вспышки удовлетворяет уравнению . Найдите , если и .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Учитывая формулу (1.13), получим:

.

Считая и , имеем:

.

.

Искомое решение есть

. (1.17)

Из (1.17) последовательно находим: , , , , . Отсюда заключаем, что через три недели вероятность нового случая кори становится меньше 50 %.

1.3. Метод вариации постоянных для разностных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (1.18)

с постоянными (при ).

Для решения уравнения (1.18) применим методы, использованные в
п. 1.2, но для простоты рассмотрим лишь случай действительных и различных корней .

Пусть – корни характеристического уравнения , соответствующего однородному уравнению (1.8). Тогда – общее решение (1.8), причем и – произвольные постоянные.

Идея метода вариации постоянных состоит в том, чтобы считать постоянные и зависящими от таким образом, что получается решение неоднородного уравнения (1.18). Согласно этому, будем искать решение в виде:

, (1.19)

где и могут изменяться вместе с .

Из (1.19) имеем:

.

Прибавив к правой части и отняв от нее величину , получим:

Для упрощения записи будем считать, что

, (1.20)

при любом значении . Тогда получим:

. (1.21)

Из уравнения (1.21) имеем: . Поступая как и выше, получим:

(1.22)

Подставив теперь выражения (1.22), (1.21), (1.19) в уравнение (1.18), получим:

Группируя слагаемые и приравнивая правую часть ,имеем:

(1.23)

Т.к. и – корни характеристического уравнения, то первые два выражения в квадратных скобках (1.23) обращаются в нуль и, значит,

(1.24)

Объединив (1.20) и (1.24), мы получим систему двух уравнений

(1.25)

относительно двух неизвестных и .

Решив систему, получим:

, (1.26)

. (1.27)

Уравнения (1.26) и (1.27) представляют собой линейные разностные уравнения первого порядка, которые можно решить методами п.1.1.

Решая (1.26), получаем:

,

,

,

…

(1.28)

Аналогично для уравнения (1.27) имеем общее решение

(1.29)

Т.о., общее решение уравнения (1.18) запишется в виде

, (1.30)

где и выражаются формулами (1.28), (1.29).

Если известны и , то постоянные и находим из уравнений , .

Пример 1.11. Если бы популяция рыб росла, не подвергаясь внешним возмущениям, то ее прирост в -м году был бы вдвое больше прироста в -м году. Однако в исследовательских целях к популяции ежегодно добавлялось по 100 рыб. Найти – численность популяции рыб в -м году, если , .

Решение. Численность рыб удовлетворяет разностному уравнению второго порядка

Или .

Здесь . Характеристическим служит уравнение с корнями . Общее решение уравнения имеет вид:

.

По формулам (1.28), (1.29) находим:

.

.

Таким образом, .

Найдем постоянные и . При и имеем:

Отсюда , , а искомое решение есть

.

В частности, , , . Ясно, что численность рыб продолжает очень быстро возрастать.