Решение типичных задач, предлагающихся во втором семестре

Решение типичных задач, предлагающихся в первом семестре

Линейная алгебра

Пример 1. Решить систему линейных уравнений: 1) методом Крамера;

2) методом Гаусса; 3) с помощью обратной матрицы.

Решение.

1) Метод Крамера. Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

где Dx, Dy, Dz получаются из определителя D путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом,

2) Метод Гаусса. Запишем систему в матричной форме, переставив местами 1-е и 3-е уравнения:

Вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на 2. Из третьего уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 5.

Получим: Вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на 11:

Мы получили систему:

Из последнего уравнения находим z = -194 / 97= -2.

Подставим z во второе уравнение и найдем y = -17 + 20 = 3.

Подставив y и z в первое уравнение, найдем x = 1 – 6 + 6 = 1.

3) Решим систему с помощью обратной матрицы.

Для этого запишем ее в матричном виде: ,

где - главная матрица системы, - столбец неизвестных и - столбец свободных членов.

Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А^-1. Для нахождения обратной матрицы А^-1, вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А, причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы:

Из полученных чисел составим матрицу и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле:

Векторная алгебра

Пример 2. Дана пирамида ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ),

D( 5;-1; 3 ). Найти: 1) угол BCD; 2) площадь грани ABC; 3) объем пирамиды.

Решение.

1) Найдем координаты векторов и , образующих угол :

Угол BCD найдем по формуле: , где -скалярное произведение векторов и . Таким образом,

Следовательно,

Площадь грани ABC находим по формуле

где - векторное произведение векторов и .

Следовательно,

Объем пирамиды находим по формуле: где

-смешанное произведение векторов и

Ответ:

Аналитическая геометрия

Пример 3. Дан треугольник A( 2; 7 ), B(-5; 7 ), C( 5; 3 ). Найти:

1) уравнения сторон; 2) уравнение и длину медианы AM; 3) уравнение и длину высоты BD; 4) уравнение биссектрисы AK; 5) точку пересечения медианы AM с высотой BD и угол между ними.

Решение.

1) Уравнения сторон AC и BC находим используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

Уравнение AB находится еще проще. Нужно только заметить, что вторая координата точек A и B одинакова и равна 7.

2) Найдем точку M – середину стороны BC:

Длину медианы найдем как расстояние между двумя точками:

3) Определим угловой коэффициент стороны AC. Для этого уравнение

Составим уравнение высоты BD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку B и с угловым коэффициентом k:

y – y₀ = k×( x - x₀ ).

Длину высоты BD найдем как расстояние точки B до прямой AC по формуле:

4) Найдем основание биссектрисы (точку K), используя то, что точка K делит отрезок BC на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:

Для нахождения координат точки K используем формулы деления отрезка в данном отношении:

Составим уравнение AK, используя координаты точек A и K:

5) Найдем точку О пересечения медианы AM с высотой BD, решив систему:

Итак, точка O имеет координаты: O( 23; 28 ).

Для нахождения угла между прямыми линиями BD и AM воспользуемся формулой:

Математический анализ

Предел функции

Пример 4. Найти предел

Решение. Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x (т.е. на x²). Получим:

Ответ: 4/3.

Пример 5. Найти предел

Решение. При подстановке вместо x числа 2 мы получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, а затем разложим выражения, стремящиеся к нулю, на множители:

Ответ: 9,6.

Пример 6. Найти предел

Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида .

так как (первый замечательный предел).

Ответ: 1.

Производная функции

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Таблица производных:

Основные правила дифференцирования:

Пример 7. Найти производную функции

Решение.

Ответ:

Пример 8. Найти производную y¢(x) неявной функции:

Решение. Продифференцируем данное равенство по x:

Раскроем скобки:

Ответ:

Пример 9. Найти производную функции

Решение. Логарифмируя данное равенство, получим неявную функцию:

Дифференцируем данное равенство по x и находим y¢(x):

Ответ:

Пример 10. Найти производную y¢(x) функции, заданной параметрически:

Решение.

Ответ:

Пример 11. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала.

Решение. Рассмотрим функцию

Пусть

Для нахождения воспользуемся формулой:

где - дифференциал функции.

Таким образом,

Ответ: 2,019.

ЧАСТЬ II

Программа 2-го семестра

(экзамен)

1. Понятие монотонности функции. Достаточные условия возрастания и убывания функции.

2. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума.

3. Достаточные условия экстремума.

4. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.

5. Достаточные условия выпуклости, вогнутости. Необходимое и достаточное условия перегиба.

6. Асимптоты плоской кривой. Нахождение вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

7. Полное исследование функции и построение ее графика.

8. Первообразная функции. Теорема об общем виде всех первообразных. Понятие неопределенного интеграла.

9. Свойства неопределенного интеграла. “Неберущиеся” интегралы.

10. Таблица интегралов.

11. Простейшие приемы интегрирования. Подведение множителя под знак дифференциала.

12. Замена переменной в неопределенном интеграле.

13. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

14. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

15. Интегрирование тригонометрических функций.

16. Задача о площади криволинейной трапеции.

17. Определение определенного интеграла.

18. Основные свойства определенного интеграла.

19. Формула Ньютона-Лейбница.

20. Замена переменной в определенном интеграле.

21. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

22. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

23. Вычисление длины дуги плоской кривой.

24. Вычисление объема тела с известным поперечным сечением.

25. Объем тела вращения.

26. Несобственные интегралы первого рода.

27. Несобственные интегралы второго рода.

28. Определение функции нескольких переменных, ее геометрический смысл.

29. Область определения функции нескольких переменных.

30. Линии уровня функции двух переменных, их геометрический смысл.

31. Частные производные первого порядка.

32. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных, их геометрический смысл.

33. Дифференциал функции нескольких переменных и его применение к приближенным вычислениям.

34. Частные производные высших порядков.

35. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

36. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

37. Дифференциальные уравнения. Определение порядка дифференциального уравнения, решения, общего решения и частного решения.

38. Задача Коши.

39. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

40. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

41. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

42. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Неопределенный интеграл

Таблица интегралов;

Свойства неопределенного интеграла:

Формула интегрирования по частям:

Решение типичных задач, предлагающихся во втором семестре

Пример 12. Найти неопределенный интеграл

Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 4 и внесем множитель 4x³ под знак дифференциала:

Ответ:

Пример 13. Найти неопределенный интеграл

Решение. Произведем замену переменной . Тогда

Ответ: .

Пример 14. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Для этого обозначим x через u, а e^2xdx через dv:

Ответ:

Определенный интеграл

Пример 15. Вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями:

Решение. Построим данные линии в декартовой системе координат:

Рис. 1.

Земельный участок изображен заштрихованным. Найдем точку А пересечения параболы с прямой y = x - 1. Для этого решим систему:

Таким образом,

Искомую площадь найдем по формуле:

Ответ: 27(ед²).