Лемма Чебышева. Примеры

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

При изучении результатов наблюдений над реальными случайными массовыми явлениями также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Теоремы закона больших чисел устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью.

Теорема Чебышева: при достаточно большом числе независимых случайных величин Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что среднее арифметичес­кое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

Рассмотрим частный случай теоремы Чебышева:

Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, ..., п, в каыввввждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение x_i случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение x_iможно считать случайной величиной X_i .

Предположим, что испытания удовлетворяют следующим требованиям:

1) испытания независимы. Это означает, что результаты Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n испытаний—независимые случайные величины;

2) испытания проводятся в одинаковых условиях—это означает, с точки зрения теории вероятностей, что каждая из случайных величин Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X, поэтому, MX_i=MX и DXi=DX, i=1, 2, .... п.

Учитывая вышеуказанные условия, получим

Переходя к пределу, имеем

Из последнего равенства следует, что среднее арифметическое случайной величины Х обладает свойством устойчивости.

Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не дающего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.

Пример. Пусть в результате 100 независимых испытаний получены случайные величины Х₁, Х₂, …, Х₁₀₀ с равными математическими ожиданиями М(Х)= 10 и равными дисперсиями D(X)= 1. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклоняется по абсолютной величине от М(Х) меньше чем на 1/2.

Решение:

Имеет место частный случай теоремы Чебышева. Применяя соответствующее неравенство для оценки вероятности, получим: