Доказательства утверждений

УТВ О - 2 Свойства обратного отображения

2.1 Обратимость отображения эквивалентна его биективности: (A:X®Y обратимо, т.е. $ обратное о. A-1:Y®X) Û (A:X®Y биективно, т.е. одновременно сюръективно и инъективно).

Д-во. Þ?$ обратное о. A-1:Y®X Þ A:X®Y биективно ?

1) Ax1 = Ax2 =(действуем на равенство отображением A-1, существующим в силу условия теоремы)Þ A-1(Ax1) = A-1(Ax2) =(определение композиции А-1А)Þ A-1Ax1 = A-1Ax2
=(А-1А=1Xx1=x2 =[эквивалентное определение инъективности: (Ax1 = Ax2 Þ x1=x2) Û x1¹x2 Þ Ax1 ¹ Ax2)]Þ А инъективное о.!

2) "yÎY =(A-1:Y®X)Þ x = A-1yÎX =(действуем на равенство отображением А)Þ
Аx = А(A-1y) =(определение композиции АA-1)Þ Аx = АA-1y =(АA-1 = 1YАx = yÜ(определение м. всех значений, imA)Þ imA = A(X) = YÜ(определение сюръективного о.)Þ А сюръективное о.!

Таким образом, из 1) и 2) вытекает биективность А!

Ü? A:X®Y биективно Þ $ обратное о. A-1:Y®X ?

Задаем претендента из объема понятия отношение в YÈX:

A-1 = {<y,x>ÎY´X | <x,y>ÎA}ÍY´X,

т.е. x = A-1y Û y = Ax, и проверяем видовые признаки более узкого понятия
обратное о. A-1:Y®X:

1° A-1 – отображение из Y в X ? (A-1:D(A-1)ÍY®X ?)

2° D(A-1) = Y ? (A-1:Y®X ?)

3° А-1А=1X & АA-1 = 1Y ? (т.е.А-1 действительно обратное отображение для А ?).

1° Ü(определение отображения из)Þ x = A-1y & x¢ = A-1y =(?)Þ x=x¢.

x = A-1y & x¢ = A-1y Ü(определение отношения А-1)Þ y = Ax & y = Ax¢ =(симметричность и транзитивность отношения =Y)Þ Ax=Ax¢ =(A инъективен)Þ x=x¢!

2° Ü(определение равенства множеств)Þ D(A-1)ÍY & YÍ D(A-1) ? Ü(определение D(A-1) = {yÎY | $xÎX : x=A-1y}ÍY)Þ YÍ D(A-1) ? Ü(определение подмножества)Þ yÎY Þ yÎ D(A-1) ?

yÎY =(А сюръективно)Þ $xÎX | y = Ax Ü(определение отношения А-1)Þ $xÎX | x = A-1y =(определение D(A-1))Þ yÎ D(A-1)!

3° Ü(определения равенства отображений и тождественного отображения)Þ

3.1. xÎX =(?)Þ x = A-1Ax

3.2. yÎY =(?)Þ y = AA-1y

xÎX =( A:X®Y)Þ y =AxÎY Ü(определение А-1)Þ y =Ax & x = A-1y =(подставляем
y = Ax во второе равенство)Þ x = A-1Ax !

yÎY =( A-1:Y®X)Þ x = A-1yÎX Ü(определение А-1)Þ y =Ax & x = A-1y =(подставляем
x = A-1y в первое равенство)Þ y = AA-1y !

1°,2°,3° доказаны ¨

Задачи для самостоятельной работы

1. Пусть A, B, C – отображения. Доказать утверждение.

Варианты

1. Композиция ассоциативна: (АВ)С = А(ВС).

2. Композиция сюръективных отображений сюръективна.

3. Композиция инъективных отображений инъективна.

4. Композиция биективных отображений биективна.

5. Отображение, обратное к данному, единственно.

6. Композиция обратимых отображений обратима и (ВА)-1 = А-1 В –1.

7. S[a, b] É B[a, b] É C[a,b] É Ck[a,b] É С [a,b] (доказать одно, любое, включение).

8. 1 < p < q Þ l1 Ì lp Ì lq Ì l Ì l (доказать одно, любое, включение).

9. А инъективен Û Уравнение Ax = yне может иметь более одного решения"yÎY.

10. А сюръективен Û Уравнение Ax = yимеет решение при "yÎY.

11. А биективен Û Уравнение Ax = yпри "yÎY имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле x = A-1y, где A-1- обратный оператор.

12. Композиция отображений является отображением.

Образец решения (1 задача). Композиция ассоциативна: (АВ)С = А(ВС).

Д-во. "x (AB)Cx=(определение композиции С и АВ)= АВ[С(х)] =( определение композиции В и А)= A(B[C(x)]) =(определение композиции С и В)= A(BC(x)) =(определение композиции BС и А)= A(BC)x=(по определению поточечного равенства отображений)Þ (АВ)С = А(ВС) §

2. Даны два (несколько) отображения. Найти значение композиции отображений на данном аргументе.

Варианты.

1. X=l2; Ax = {x3,x4,…}:X®X; Bx = Доказательства утверждений - student2.ru Fx = x1 + x2 :X®R;
x0 = Доказательства утверждений - student2.ru . FABx0 = ? (Ответ: Доказательства утверждений - student2.ru )

2. X=C[0,1]; (Ax)(t) = t2x(t):X®X; (Bx)(t) = Доказательства утверждений - student2.ru Fx = Доказательства утверждений - student2.ru
x0(t) = t; FABx0 = ? (Ответ: Доказательства утверждений - student2.ru )

3. X=C[0,1]; (Ax)(t) = x(t2):X®X; (Bx)(t) = x2(t):X®X; Fx = Доказательства утверждений - student2.ru x0(t) = Доказательства утверждений - student2.ru FABx0 = ? (Ответ: Доказательства утверждений - student2.ru )

4. X=Ã([0,2]); Ax = xÇ[0,1]:X®X; Bx = [0,2]\x:X®X; Fx = sup x :X®R; x0 = {0,1,2}; FABx0 = ? (Ответ: 1)

3. Решите "свой" вариант теста (не забудьте указать вариант, например, ТЕСТ О - 1). Тестовое задание (ТЗ) с номером № студента (mod12) представьте с решением, на остальные ТЗ пришлите только ответы.

Варианты

1. ТЕСТ О - 1.

А В Дополнительная информация
ОтображениеI(x) = x ОтображениеА|x1 ¹ x2 Þ Ax1¹Ax2 Понятия
Биективное о. Обратимое о. Понятия
Функц-алFx = Доказательства утверждений - student2.ru ФункционалFx = x(0) Понятия
Ф. п. Í S[a,b], состоящее из непрерывных функций Ф.п. бесконечно дифф-мых функций, С¥[a,b] Понятия
Правая часть уравнения Элементx Î X , при котором высказывание Ах = у истинно Понятия
Lp[a,b] L1[a,b] Множества, p>1
C3[a,b] C2[a,b] Множества, a<b
a(t) < 0 "t A-1a = A1/a Пар. выс-я, aÎS(T,R)
А биективен Уравнение Ax = yимеет единственное решение Пар-е выск-я, Ax = y
ABсюръективен А сюръективен Пар-е выск-я, A,BÎS(X)
Bсюръективен BA сюръективен Пар-е выск-я, A,BÎS(X)
A- биекция A сюръективен Пар-е выск-я, AÎS(X)

2. ТЕСТ О - 2.

А В Дополнительная информация
ОтношениеR Í C´U ОтображениеА: A(X) = Y Понятия
Сужение о. А на подмножество U, Aú U ОтображениеAú U Î S(U,Y): Aú U (x) = A(x) " x Î X Понятия, AÎS(X,Y) U Í X
ОператорAx = dx/dt Множество (м.) Понятия
Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из k раз непрерывно дифференцируемых функций Ф. п. Í S[a,b], состоящее из непрерывных функций Понятия
Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых функций (т.е. Доказательства утверждений - student2.ru < ¥) Подмножествов S(X,Y) Понятия
Элемент S(P, PR) Уравнение, Ax = y Понятия
B[a,b] C[a,b] Множества, a<b
A-1a = A1/a a(t) > 0 "t Пар-е выск-я, aÎS(T,R)
xÎC[-1, 1] xÎC1[-1, 1] Выс-я, x(t)=|t|
Уравнение Ax = yимеет решение А сюръективен Пар-е выск-я, Ax = y
A инъективен BAинъективно Пар-е выск-я, A,BÎS(X)
A- биекция A инъективен Пар-е выск-я, AÎS(X)

3. ТЕСТ О - 3.

А В Дополнительная информация
Инъективное о. О.А | Ax1 = Ax2 Þ x1 = x2 Понятия
Биективное о. ОтображениеA, которое одновременно инъективно и сюръективно Понятия
График о. Дифференциальный о. Понятия
Ф. п. Í S[a,b], состоящее из непрерывных функций Ф.п. ограниченных на отрезке функций, B[a,b] Понятия
Ф.п. суммируемых на отрезке функций, L1[a,b] Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых в p-й степени функций (т.е. таких x, что Доказательства утверждений - student2.ru p<¥) Понятия
lq lp Множества, p<q
FABx, x(t) º 1 FBAy, y(t) º 1 Числа, Bx(t)=tx(t), Ax(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, Fx = x(1)
A инъективен Ур-е Ах=y не может иметь более 1 решения Пар-е выск-я, Ax = y
Уравнение Ax = yимеет решение А сюръективен Пар-е выск-я, Ax = y
ABинъективно Винъективен Пар-е выск-я, A,BÎS(X)
ABсюръективен А сюръективен Пар-е выск-я, A,BÎS(X)
A инъективен и сюръективен A- биекция Пар-е выск-я, AÎS(X)

4. ТЕСТ О - 4.

А В Дополнительная информация
Обратимое о. Обратное о., А-1 Понятия
Биективное о. О.А | x1 ¹ x2 Þ Ax1 ¹ Ax2 Понятия
О.А, для которого X и Y - ф.п. ОтображениеА, для которого X - функциональное пространство, а Р- числовое поле Понятия
Оператор(Ax)(t) = =ò[a,b]k(t,s)x(s)ds, t Î [c,d] Интегральный оператор Понятия
Подмножествов S(X,Y) Ф. п. Í S[a,b], состоящее из ограниченных функций Понятия
Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых функций (т.е. Доказательства утверждений - student2.ru < ¥) Подмножествов S(X,Y) Понятия
lp l1 Множества, p>1
FABx, x(t) = t FBAy, y(t) = t2 Числа, Bx(t)=tx(t),Ax(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, Fx = x(1)
a(t) < 0 "t A-1a = A1/a Пар. выс-я, aÎS(T,R)
xÎC2[0, 2] xÎB[0, +¥) Выс-я, x(t)=|t|
x = A-1y А сюръективен Пар-е выск-я, Ax = y
ABсюръективен Aи B сюръективны Пар-е выск-я, A,BÎS(X)
             

5. ТЕСТ О - 5.

А В Дополнительная информация
ОтображениеА, для которого существует обратное о. О. изA:DA Í X®Y ½ DA = X Понятия
ОтображениеAú U Î S(U,Y): Aú U (x) = A(x) " x Î U Сужение о. А на подмножество U, Aú U Понятия
ОператорA аÎ S(X): (Ааx) (t) = a(t) x(t) О.А, для которого X и Y - ф.п. Понятия
Функциональное пространство Подмножествов S(X,Y) Понятия
Ф. п. Íl, состоящее из ограниченных последовательностей (т.е. таких x = {xk }Î l, что sup{ôxkô} < ¥) Ф.п. ограниченных последовательностей, l¥ Понятия
Элементy Î Y Подсистема Понятия
C[a,b] S[a,b] Множества, a<b
FABx, x(t) = t FBAy, y(t) = t2 Числа, Bx(t)=tx(t), Ax(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, Fx = x(1)
a(t) < 0 "t A-1a = A1/a Пар. выс-я, aÎS(T,R)
xÎC[-1, 1] xÎC1[-1, 1] Выс-я, x(t)=|t|
x = A-1y А биективен Пар-е выск-я, Ax = y
Aи Bинъективны ABинъективен Пар-е выск-я, A,BÎS(X)

6. ТЕСТ О - 6.

А В Дополнительная информация
Композиция отображений А и В, ВА ОтображениеВА(х) = В(А(х)) Понятия, AÎS(X,Y), BÎS(Y,Z)
ОтображениеA, которое одновременно инъективно и сюръективно Обратимое о. Понятия
Функция ОтображениеAÎ S(X,R) Понятия
d - функция Дирака Интегральный функционал Понятия
Ф. п. Íl, состоящее из суммируемых последовательностей x = ={xk}Î l | å1,¥|xk|< ¥ Ф. п. Íl, состоящее из последовательностей с суммируемой p-й степенью (т.е. таких x = {xk}Î l, что å1,¥|xk|p < ¥) Понятия
Ф.п. суммируемых на отрезке функций, L1[a,b] Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых в p-й степени функций (т.е. таких x, что Доказательства утверждений - student2.ru p<¥) Понятия
Элементy Î Y Элементx Î X , при котором высказывание Ах = у истинно Понятия
S[a,b] C¥[a,b] Множества, a<b
xÎl2 xÎl¥ Выс-я, x={xk=1}
А биективен Уравнение Ax = yимеет единственное решение Пар-е выск-я, Ax = y
x = A-1y А сюръективен Пар-е выск-я, Ax = y
Bсюръективен BA сюръективен Пар-е выск-я, A,BÎS(X)

ã Калмыков А.А. 2005. m_o.doc

Наши рекомендации