Производная и дифференциал вектор- функции

2.1. Производная вектор- функции в точке

Пусть вектор-функция определена в окрестности точки t₀ , т.е. на не- котором интервале (α,β), , и пусть t принадлежит этой окрестности, но не совпадает с t₀. Составим проиэведение скалярного множителя на вектор разности - : . Это произведение представляет собой вектор- функцию, определённую в проколотой окрестности точки t₀ , и можно ставить вопрос о сущест- вовании её предела при . В дальнейшем выражение будем записывать в виде дроби: .

Определение. Если существует , то этот вектор называют произ- водной вектор-функции в точке t₀ .

Производную вектор-функции в точке t₀ обозначают символами и . Таким образом,

Используя введённые в п.3 обозначения, можем записать:

= = = .

Установим связь между производной вектор-функции и производными её координатных функций.

Теорема 7. (О связи производной вектор- функции с производными её коорди- натных функций) Пусть вектор-функция определена в окрестности t_{0 ­­,} а x(t), y(t) и z(t) – её координатные функции. Тогда:

1) для того, чтобы существовала производная необходимо и достаточно, чтобы существовали производные и ;

2) если производные и существуют, то

=( , )

► Так как - = (x(t)- x(t₀), y(t)- y(t₀), z(t) - z(t₀)), то

= .

1) Необходимость. Пусть существует: . По тео- реме о покоординатной сходимости координаты вектора являются пределами при соответствующих координатных функций , , вектор-функции . Значит, каждая из дробей , , имеет при конечный предел, т. е. производные и существуют.

Достаточность. Пусть существуют и , т.е. дроби , и имеют при пределами числа и соответственно. Тогда из теоремы о покоординатной сходимости следует, что существует предел при вектор-функции , причём числа и являются его координатами, т.е. существует, причём

=( , ) ,

2) Это утверждение уже доказано, см. Достаточность. ◄

2.2.. Дифференцируемые вектор-функции

Пусть - скалярная функция, определенная в окрестности . t_{0 ­,} а μ – - некоторое положительное число. Если , то говорят, что при есть “о малое” от и при этом записывают: = ( ).

Сформулируем аналогичное понятие для вектор- функций.

Пусть вектор-функция определена в окрестности . t_{0 ­­,} а α₁(t), α₂(t) и α₃(t) – её координатные функции: = (α₁(t), α₂(t), α₃(t)). Пусть, далее, μ – некоторое положительное число.

Определение. Если , будем говорить, что при вектор-функция есть “о малое” от и при этом записывать: = ( ).

Замечание. Так как ( см. Замечание к теореме 1). а - скалярная функция, то справедливо следующее утверждение: при вектор-функция есть “о малое” от тогда и только тогда, когда её длина при есть “о малое” от .

Лемма. Чтобы при вектор-функция была “о малым” от , необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладала каждая её координатная функция:

= ( ) .

► Имеем: . По теореме о покоординат- ной сходимости

. ◄

Определение. Вектор-функцию назовём дифференцируемой в точке t₀ , если она определена в некоторой окрестности этой точки, и существует вектор та- кой, что для приращения Δ (h) справедливо асимптотическое представление:

Δ (h) = h + (3) Здесь , Δ (h) = - = - , а - некоторая вектор-функ- ция такая, что .

Теорема 8.(Критерий дифференцируемости)Пусть вектор-функция определена в окрестности t₀ . Чтобы была дифференцируемой в точке t₀ , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная .

► Необходимость. Пусть дифференцируема в точке t₀ . Заменив в форму- ле (3) на получим: - = + + ( ). Отсюда:

и .+ . Так как = , то , т.е. производная существует и равна .

Достаточность. _­­,Пусть существует и пусть. x(t), y(t) и z(t) – координат- ные функции Тогда по теореме 6 существуют производные и . Значит, эти скалярные функции дифференцируемы в точке t₀; поэтому для их прира- щений справедливы представления:

где , , - функции, удовлетворяющие условиям:

Отсюда:

- = (x(t₀+h)- x(t₀), y(t₀+h)- y(t₀), z(t₀+h) - z(t₀)) =

= ( ) =

= ( ) h + h ( , , ) =

= h +h ,

где = ( , , ). Ввиду условий, которым удовлетворяют , , , можем записать: . Итак,

- = h +h ,

где . Заметим: , т.е. h = . Значит,

Δ (τ) = h + , (4) Получено представление (3), в котором = . ◄

Следствие 1.Вектор в представлении (3) приращения дифференцируемой функции определяется единственным образом, а именно, = .

Этот результат уже получен, см. Необходимость.

Следствие 2.Если вектор-функция дифференцируема в точке , то суще- ствует вектор-функция , удовлетворяющая условиям , и такая, что справедливо представление Δ (τ) = h +h .

Существование уже доказано, см. Достаточность.

Следствие 3.Вектор-функция дифференцируема в точке тогда и толь- ко тогда, когда в этой точке дифференцируемы её координатные функции.

Утверждение следует из доказанной теоремы и теоремы 7.

Замечание. Если вектор-функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, из (3) следует: ; значит (см. теорему 6) , неп- рерывна в .

Пусть вектор- функции и , а также скалярная функция определе- ны в окрестности точки t₀ . Пусть, далее, -некоторое число, а - некоторый вектор. Введём обозначения: + ; ; ( , )- - скалярное произведение; [ , ] - векторное произведение.

Теорема 9.(О действиях над дифференцируемыми вектор-функциями) Если , и дифференцируемы в точке t₀ , то , , и также диф- ференцируемы в этой точке, причём

1) = + ;

2) = + ; в частности, если ≡ , то = ;

3) ( , ) + ( , ); в частности, если ≡ , то ( , ).

4) [ , ] + [ , ]; в частности, если ≡ , то [ , ].

Доказательства всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме. Из- ложим доказательство утверждения 4).

► Пусть , . Тогда [ , ]= =

= . По условию теоремы и дифференцируемы в точке t₀ ; значит (см. следствие 3 теоремы 8), в этой точке дифференцируемы их координатные функции. Отсюда вы-текает дифференцируемость в точке t₀ функций = , = = и = , которые являются коорди- натными функциями вектор-функции . Следовательно (см. следствие 3 теоремы 8), дифференцируема в точке t₀ . Значит, существует производная , причём ( см. теорему 7) = ( , ). Вычислив производные , , получим:

=( ) + ( ) = = [ , ] + [ , ] . ◄

Теорема 10.(О производной сложной вектор-функции) Пусть скалярная функ- ция определена в окрестности , t₀ , а вектор-функция определена в окрестности точки = . Если дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке t₀ , то сложная вектор-функция дифференци- руема в точке t₀ , причём .

► Пусть x(θ), y(θ) и z(θ) – координатные функции : = (x(θ), y(θ) ,z(θ)). Заметим: =( ). Так как дифференцируема в точке , то в этой точке дифференцируемы её координатные функции ( см. следствие 3 теоремы 8). По теореме о производной сложной скалярной функции суперпозиции дифференцируемы в точке t_{0 ,} причём

. Теперь можем записать:

( ) = ( ) =

= ( = . ◄

Определение. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на интервале (α , β) , если она дифференцируема в каждой его точке. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на сегменте [α , β] , если она дифференцируе- ма на интервале (α , β) и, кроме того, существуют односторонние производные

и .

Теорема 11. Пусть вектор-функция непрерывна на сегменте [α , β] и диф- ференцируема на интервале (α , β) . Тогда существует точка (α , β) такая, что справедливо неравенство:

.

► Рассмотрим скалярную функцию f(t), заданную на [α , β] равенством: f(t) = ( , ). Из условия теоремы вытекает, что f(t) непрерывна на сегменте [α , β] и дифференцируема на интервале (α , β) . По теореме Лагранжа существует точ- ка (α , β) такая, что справедлива формула конечных приращений: f(β) - fα) = = .Отсюда : | f(β) - fα) | = | . Опираясь на свойства скалярно- го произведения, можем записать :

f(β) – f(α) = ( , ) = ;

| |(( , )| | | | . Отсюда и из равенства | f(β) - fα) | = | следует:

| | | . Сократив на | , получим неравенство, которое и требовалось доказать. ◄

Теорема 12.Пусть вектор-функция удовлетворяет на интервале (α , β) ус- ловию: , где С≥ 0. Если дифференцируема на интервале (α , β), то при всяком скалярное произведение ( , ) равно нулю.

► Рассмотрим скалярную функцию f(t), заданную на (α , β) равенством: f(t) = ( , ) = . Очевидно, f(t) на (α , β), и потому на (α , β). Но ( , ) = ( , ) + ( , )= 2 ( , ). Отсюда:

( , ) на (α , β). ◄

Замечание. Если при соблюдении условий этой теоремы оба вектора и ненулевые, то они ортогональны.

2.3. Дифференциал вектор- функции

Пусть вектор-функция дифференцируема в точке t₀ , t₀ .

Определение. Дифференциалом вектор-функции в точке t₀ назовём произ- ведение h, где h = Δt – приращение аргумента t.

Обозначать дифференциал будем символами d или d , подчеркнув во вто- ром символе то обстоятельство, что дифференциал представляет собой вектор-функ- цию аргумента h , определённую на всей числовой оси равенством d = h или, так как приращение h = Δt независимой переменной t равно дифференциалу d t, равенством d = d t. Заметим ещё, что формулу (4) теперь можно записать в виде:

Δ (h) = d + .

Из утверждений теоремы 9 вытекают следующие правила вычисления диффе- ренциалов в точке : Если + ; ; ( , ) и [ , ] , то

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Иэ теоремы 10 вытекает инвариантность формы дифференциала вектор-функ- ции. Действительно, пусть - скалярная функция, дифференцируемая в точке , а дифференцируема в точке t₀ , где .Тогда сложная вектор-функ- ция дифференцируема в точке , причём . Отсюда, так как , получим: . Таким обра- зом, формула справедлива и в том случае, когда аргумент вектор-функ- ции является зависимой переменной.

2.4. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть вектор-функция дифференцируема в окрестности точки , , т.е. на некотором интервале , . Сопоставив каждому t, , вектор , мы определим на новую вектор-функцию, которую называют производной от вектор-функции и обозначают через , или через , или через .

Если производная дифференцируема в точке , то производную от в точке называют производной второго порядка от вектор-функции в точке и обозначают через . Если производная дифференцируема в каждой точке интервала , то на существует производная от вектор-функции ; эту производную называют производной второго порядка от вектор-функции и обозначают через , или через , или через . Вообще, при всяком натуральном n, , производной порядка n от вектор-функции называют производную от производной порядка этой вектор-функции, обозначая ее через , или через , или через .

Определение 5. Будем говорить, что вектор-функция n, , раз дифференцируема в точке , , если в точке существуют производные от до порядка n включительно.

Для скалярных функций аналогичное понятие введено в §10 гл.1. Заметим, что n-кратная дифференцируемость вектор- функции в точке означает, что и ее производные определены и дифференцируемы в некоторой окрестности и, кроме того, производная дифференцируема в точке .

Упражнение. Доказать утверждения:

I. Пусть вектор-функция определена в некоторой окрестности , . Тогда:

1) ( n раз дифференцируема в точке ) Û ( , и n раз дифференцируемы в точке );

2) ( n раз дифференцируема в точке ) Þ .

II. Пусть вектор-функции и n раз дифференцируемы в точке , , и пусть l – некоторое число, а – некоторый вектор. Положим: , , , . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

В этом и предыдущих пунктах введены основные понятия дифференциального исчисления вектор-функций: предел, непрерывность, производная, дифференциал. Они аналогичны соответствующим понятиям дифференциального исчисления скалярных функций и обладают аналогичными свойствами. Однако, полной аналогии между тео- ремами дифференциального исчисления для скалярных и векторных функций нет. Например, ясно, что не имеет смысла говорить о наибольшем или наименьшем значе- нии вектор- функции на промежутке, поэтому для вектор- функции нельзя сформулиро-вать теорему, аналогичную теореме Ферма (гл.2, п.2.1.). Нет для вектор- функций и аналогов теорем Ролля, Коши и Лагранжа (гл.2, п. 2.2.). Однако, справедлива теорема, аналогичная теореме Тейлора- Пеано (§4 ).

Теорема 6. Пусть вектор-функция n, , раз дифференцируема в точке , . Тогда справедлива асимптотическая формула:

.

Так как n раз дифференцируема в точке , то и ее координатные функции обладают этим свойством. По теореме Тейлора–Пеано (§4 гл.2)

,

,

,

где , , . Отсюда:

,