Растяжение-сжатие стержней
Для заданной схемы (рис.2) требуется:
1. Построить эпюру осевых нагрузок.
2. Определить размер квадратного сечения стержня исходя из условий прочности.
Данные для расчёта взять их таблицы 1.
Рис. 2. Варианты расчётных схем стержней
Таблица 1
Исходные данные для расчёта
| Вариант | Сила, кН | Допускаемое нормальное напряжение [σ], МПа | ||
| Р1 | Р2 | Р3 | ||
Пример выполнения задания.
Для заданной схемы (рис.3) требуется:
Построить эпюру осевых нагрузок.
Определить размер квадратного сечения стержня исходя из условий прочности
Основные данные следующие.
Силы: Р1 = 6 кН, Р2 = 8 кН, Р3 = 10 кН
Допускаемое нормальное напряжение [σ] = 200 МПа.
На рис. 3 обозначено: F1, F2 – площадь поперечного сечения ступеней бруса.
Решение.
Рис. 3. Расчётная схема и эпюра внутренних продольных усилий бруса
Расставим характерные точки (сечения) – те, в которых приложены нагрузки или изменяется характер поперечного сечения (форма, размер).
В данном случае таких характерных точек 5: А, В, С, D, Е. В точках А, В,D и Е приложены нагрузки: соответственно сосредоточенные силы Р1, Р2, Р3 и реакция заделки, вообще говоря, подлежащая определению из условия равновесия бруса.
В данном случае, когда брус имеет опору в виде жёсткого защемления с одной стороны и является статически определимой конструкцией, продольную реакцию связи (заделки) можно не определять, если при этом начинать решение задачи с конца, наиболее удалённого от заделки и продвигаться в решении в направлении опоры.
В точке С сечение бруса согласно схеме меняет площадь поперечного сечения.
Таким образом, необходимо рассмотреть 4 характерных участка бруса, начиная с правого конца его, т.е. с точки А.
Рассмотрим характерный участок АВ.
Мысленно проведём поперечное сечение бруса I-I между точками А и В, отбросим левую часть бруса, оставив в рассмотрении правую, действие отброшенной части заменив реакцией.
Направив реакцию N в сторону от сечения, т.е. считая внутреннее усилие растягивающим, получим следующую картину приложенных к ней сил (рис. 4)
Рис. 4. Баланс сил, действующих в сечении I-I стержня
Из условия равновесия (равенство проекций сил на ось х, получим:
N = - P1 = - 6 кН,
т.е. внутренняя продольная сила в сечении I-I является не растягивающей, а сжимающей.
Для определения знака внутренней силы при растяжении (сжатии) стержня можно пользоваться правилом: если приложенная к брусу внешняя продольная нагрузка направлена в сторону его сжатия, то внутренняя сила также будет сжимающей и иметь знак «-».
Не сложно установить, что значение внутренней силы N неизменно на всём участке АВ.
Выбирая масштаб, строим соответствующий участок эпюры продольных сил (в размерности кН), сила N на участке АВ постоянна.
Далее рассмотрим участок ВС.
Проведем сечение II-II в произвольном месте между точками В и С. Отбросим левую часть, её действие заменим реакцией, направим реакцию в сторону от сечения, считая её растягивающей силой.
Получим баланс сил, показанный на рис. 5.
Из условия равновесия имеем:
N = - P1+ P2 = - 6 + 8 = 2 кН,
т.е. внутренняя продольная сила в сечении II-II является растягивающей.
Рис. 5. Баланс сил, действующих в сечении II-II стержня
Строим соответствующий участок эпюры продольных сил, сила N на участке ВС постоянна.
Аналогично рассматриваем остальные участки стержня, проводя сечения III-III и IV – IV соответственно и вновь отбрасывая левую часть бруса.
Участок CD:
N = - P1+ P2 = - 6 + 8 = 2 кН
Участок DЕ:
N = - P1+ P2 + P3 = - 6 + 8 +10 =12 кН
Строим соответствующие участки эпюры продольных сил.
Условие прочности при растяжении (сжатии) стержня имеет вид:
, (1)
где σmax – наибольшее по модулю нормальное напряжение на соответствующей ступени стержня, N – продольное усилие в сечении стержня, А – площадь поперечного сечения соответствующей ступени бруса, [σ] – допускаемое нормальное напряжение, зависящее от материала стержня.
Поскольку поперечные сечения бруса квадратные, то сторона квадрата a определится как: .
Данная задача является проектировочной, т.е. необходимо, зная допускаемое напряжение и усилия в сечениях стержня, определить размеры его поперечных сечений. Поскольку поперечные сечения бруса квадратные, то сторона квадрата a определится как: .
В данном случае брус имеет две ступени, соответственно необходимо рассмотреть условия равновесия (1) для каждой из ступеней.
Для ступени 1:
,
где NII – продольная внутренняя сила в сечении II (наибольшая по модулю для участка АС), F1–площадь поперечного сечения ступени 1
Тогда размер сечения для ступени 1 определится из выражения:
(2)
Для ступени 2:
,
где NIV – продольная внутренняя сила в сечении IV (наибольшая по модулю для участка СE), F2–площадь поперечного сечения ступени 2
Тогда размер сечения для ступени 2 определится из выражения:
(3)
Подставляя числовые данные в выражения (2) и (3), определим размеры поперечных сечений стержня, при которых прочность бруса будет обеспеченной.
(м) или 6 мм (м) или 8 мм
Ответ: а1 = 6 мм, а2 = 8 мм
Задача 2.
Расчёт валов на кручение
Для заданной схемы вала (рис.6) требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов.
Определить диаметры круглых сечений вала исходя из условий прочности и жёсткости.
Модуль упругости второго рода принять равным G = 8·104 МПа
Данные для расчета взять из таблицы 2.
При определении диаметра сплошного вала сечения полученные значения округляют по ГОСТ 6636–69 до ближайшего значения из ряда Rа40: 10; 10,5; 11; 11,5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130; 140; 150;160 мм.
Рис. 6. Варианты расчётных схем валов
Пример расчёта вала на кручение.
К стальному валу приложены три известных момента:
Т1, Т2 и Т3 (рис. 3.2).
Требуется: 1) из условия равновесия вала найти значение момента Х (сопротивлением опор пренебречь); 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчета на прочность и жёсткость
Д а н о : Т1 = 3 кН·м; Т2 = 2 кН·м; Т3 = 1 кН·м; [τ] = 70 МПа;
[θ] = 0,02 рад/м
Таблица 2.
Исходные данные для расчёта вала
| Вариант | Крутящий момент, кН·м | Допускаемое касательное напряжение [t], МПа | Допускаемый относительный угол закручивания [θ], рад | ||
| Т1 | Т2 | Т3 | |||
| 0,003 | |||||
| 0,004 | |||||
| 0,004 | |||||
| 0,004 | |||||
| 0,003 | |||||
| 0,003 | |||||
| 0,004 | |||||
| 0,004 | |||||
| 0,004 | |||||
| 0,005 |
Р е ш е н и е.
Из условия равновесия ΣТ = 0 находим значение момента X :
Т1 +Т2 – Т3 – X = 0;
X= Т1 +Т2 – Т3 = 3 + 2 – 1 = 4 кН·м .
Вычисляем крутящие моменты на участках вала.
Участок AB: M = T1 = 3 кН·м;
Участок BC: M = T1 + T2 = 3 + 2 = 5 кН·м;
Участок СD: M = T1 + T2 – T3 = 3 + 2 – 1 = 4 кН·м.
По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов (рис. 7).
Рис. 7. Расчётная схема вала и эпюра крутящих моментов
Диаметр вала определим из условия прочности на кручение:
, (4)
где Wp = 0,2d3 – полярный момент сопротивления вала круглого сечения.
Тогда диаметр вала:
(5)
Подставляя числовые значения, получим
м
Округляя полученное значение диаметра до стандартного значения, получим
d = 70 мм
Определим диаметр вала из условия жёсткости:
, (6)
где G – модуль упругости 2 рода
Ip = 0,1d4 – момент инерции круглого сечения вала.
Тогда
(7)
Подставляя числовые данные, получим:
0,075 м
Округляя до стандартного значения, получим d = 75 мм.
Из двух расчётных диаметров (по критерии прочности вала и по условию жёсткости) выбираем наибольшее значение, т.е. принимаем d = 75 мм
Ответ: 75 мм
Задача 3.
Расчёт консольной балки на плоский изгиб
Для заданной схемы балки (рис. 8) требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
2. Для опасного сечения определить размер квадратного сечения из условия изгибной прочности.
Данные для расчёта взять в таблице 3 (если какая-либо величина в таблице имеет значение со знаком «-», то она считается направленной в противоположную сторону).
Рис. 8. Варианты расчётных схем балок
Пример расчёта консольной балки на изгиб.
Для заданной схемы балки (рис.9) требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
2. Для опасного сечения определить размер квадратного сечения из условия изгибной прочности.
Данные для расчёта:
a = 2,4 м, b = 2,2 м, с = 2,0 м, d = 3,0 м
q = 1 кН/м, Р = 2 кН, М = 4 кН·м [σ] =200 МПа
Таблица 3
Исходные данные для расчёта балки
| Вариант | Распределенная нагрузка q, кН/м | Сосредоточенная сила Р, кН | Момент пары сил М, кН·м | Линейные размеры, м | Допускаемое нормальное напряжение [σ], МПа | ||
| a | b | c | |||||
| 0.1 | 0.2 | 0.3 | |||||
| -4 | 0.5 | 0.2 | 0.4 | 0.4 | |||
| 0.3 | 0.3 | 0.4 | |||||
| 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.2 | ||||
| -1 | 0.4 | 0.2 | 0.3 | ||||
| -2 | 0.5 | 0.3 | 0.5 | 0.2 | |||
| 0.5 | 0.2 | 0.3 | |||||
| -1 | 0.4 | 0.2 | 0.4 | ||||
| -8 | 0.5 | 0.3 | 0.2 | 0.5 | |||
| 0.3 | 0.3 | 0.4 |
Решение
Для данной схемы консольной балки реакции в заделке можно не определять, если при этом начинать решение задачи с наиболее удалённого от заделки конца.
Расставим характерные точки: точки А и В – начало и конец распределённой нагрузки, С – точка приложения сосредоточенного момента пары сил, D – точка приложения сосредоточенной силы, Е – конечная тока (заделка).
Таким образом, необходимо рассмотреть 4 характерных участка, начиная с левого конца балки.
Рис. 9. Расчётная схема балки на изгиб и эпюры внутренних силовых факторов
Используем метод сечений.
Рассмотрим участок АВ.
Проведем сечение I-I в произвольном месте балки между точками А и В, зададим положение сечения координатой х1, отсчитываемой от левого конца балки, отбросим правую часть балки, оставив в рассмотрение левую от сечения часть, а действие отброшенной части заменим реакцией.
В случае плоского изгиба возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М.
В соответствии с характером деформации, на рис. 10 показано правило знаков при изгибе [1, 2, 3].
Рис. 10. Правило знаков при изгибе
Запишем уравнение поперечной силы в рассматриваемом сечении:
Т.е. поперечная сила на участке АВ переменная, линейно зависит от координаты х1.
Определим значение поперечной силы в крайних точках участка АВ; при этом, поскольку сечение проводили в произвольном месте на участке АВ, необходимо рассмотреть всю совокупность возможных положений сечений, т.е.
.
При х1 = 0
Q = 1·0 = 0 кН
При х1 = а = 2,4 м
Q = 1·2,4 = 2,4 кН
Запишем уравнение изгибающего момента в сечении I-I.
Изгибающий момент на участке АВ определяется квадратичной зависимостью.
График изгибающего момента на участке АВ можно построить по 3 точкам, используя основные свойства эпюр Q и М: на данном участке эпюра изгибающего момента представляет собой параболу, выпуклостью направленной к распределённой нагрузке.
При х1 = 0
М = 1·02 = 0 кН·м
При х1 = а/2 = 1,2 м
М = 1·1,22 /2= 0,7 кН·м
При х1 = а = 2,4 м
М = 1·2,42 /2= 2,9 кН·м
Далее аналогично рассмотрим остальные участки.
Участок ВС.
Проводим сечение II-II, на расстоянии х2 от левого края балки, отбрасываем правую часть, заменив её действие реакцией. При этом
Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента М для данного сечения.
Т.е. на участке ВС значение силы Q не зависит от положения сечения и равно:
Q = 1·2,4 = 2,4 кН
Изгибающий момент:
линейно зависит от координаты поперечного сечения.
При х2= а = 2,4 м
М = 1·2,4·(2,4 – 2,4/2) = 2,9 кН·м
При х2= а+b = 2,4 + 2,2 = 4,6 м
М = 1·2,4·(4,6 – 2,4/2) = 8,2 кН·м
Участок СD.
Проводим сечение III-III, на расстоянии х3 от левого края балки, отбрасываем правую часть, заменив её действие реакцией. При этом
Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента М для данного сечения.
Т.е. на участке СD значение силы Q не зависит от положения сечения и равно:
Q = 1·2,4 = 2,4 кН
Изгибающий момент:
линейно зависит от координаты поперечного сечения.
При х3= а+b = 2,4 + 2,2 = 4,6 м
М = 1·2,4·(4,6 – 2,4/2) - 4 = 4,2 кН·м
При х3= а+b+c = 2,4 + 2,2 + 2,0 = 6,6 м
М = 1·2,4·(6,6 – 2,4/2) - 4 = 9,0 кН·м
Участок DE.
Проводим сечение IV-IV, на расстоянии х4 от левого края балки, отбрасываем правую часть, заменив её действие реакцией. При этом
Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента М для данного сечения.
Т.е. на участке DE значение силы Q не зависит от положения сечения и равно:
Q = 1·2,4 - 2 = 0,4 кН
Изгибающий момент:
линейно зависит от координаты поперечного сечения.
При х4= а+b+c = 2,4 + 2,2 + 2,0 = 6,6 м
М = 1·2,4·(6,6 – 2,4/2) – 4 – 2·(6,6 – 2,4 – 2,2 - 2,0) = 9,0 кН·м
При х4= а+b+c+d = 2,4 + 2,2 + 2,0 + 3,0 = 9,6 м
М = 1·2,4·(9,6 – 2,4/2) – 4 – 2·(9,6 - 2,4 – 2,2 - 2,0) = 13,2 кН·м
По полученным данным строим эпюру поперечных сил и эпюру изгибающих моментов.
Проверяем построение в соответствии с основными свойствами эпюр [1-3]:
Ø на участке АВ, где приложена распределённая нагрузка, эпюра Q имеет линейную зависимость, эпюра М – парабола, направленная выпуклостью к нагрузке;
Ø на участке ВС нет распределенной нагрузки, эпюра Q – прямая, параллельная нулевой линии, эпюра М – линейная зависимость;
Ø в точке С приложен сосредоточенный изгибающий момент, на эпюре Q без изменений, на эпюре М – скачок на величину и по знаку приложенного момента;
Ø на участке CD зависимости аналогичные участку ВС;
Ø в точке D приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q скачок по величине и знаку данной силы, на эпюре М – перегиб графика (изменение угла наклона).
Для расчёта балки на прочность необходимо установить опасное сечение – то сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее абсолютное значение. Для данного примера очевидно, что опасным сечением является заделка (точка Е).
Условие изгибной прочности балки записывается выражением:
, (8)
где Мmax – максимальный изгибающий момент (в опасном сечении), Н·м;
Wz – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки, м3, для квадратного сечения Wz = a3/6 (a – сторона квадрата, м)
[σ] – допускаемое нормальное напряжение.
Тогда из формулы (8) выразим размер квадратного сечения:
(9)
Подставляя числовые данные, получим:
м
Принимаем a = 75 мм
Задача 4.
Расчёт однопролётной балки на плоский изгиб
Для заданной схемы балки (рис. 11) требуется: