ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ

Пусть дана матрица

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ,

где aij – некоторые числа. Будем её обозначать A=(aij).

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если их размеры (число строк и число столбцов) совпадают и соответствующие элементы равны, т.е. при всех i, j: aij=bij.

Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица C=(cij) (что обозначается C=A+B) тех же размеров, элементы которой определяются равенствами для всех i, j: cij=aij+bij.

Произведением матрицы A=(aij) на число α называется матрица B=(bij) (что обозначается B=α∙A=A∙α), элементы которой определяются равенствами для всех i, j: bij=αaij.

Для этих операций справедливы следующие свойства:

1) A+B=B+A;

2) A+(B+C)=(A+B)+C;

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru 0=(0), что A+0=A;

4) Для ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru A ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru (-A), что A+(-A)=0;

5) α (A+B)=αA+αB;

6) (α+β)A=αA+βA;

7) α(βA)=(α∙β)A.

Умножение матрицы A=(aij) на матрицу B=(bij) определяется только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Произведением матрицы A=(aij) на матрицу B=(bij) называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенствами: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Таким образом, элемент матрицы C=AB, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Отметим основные свойства произведения матриц (считая, конечно, что все написанные произведения имеют смысл):

1) в общем случае AB≠BA;

2) A0=0A=0, где 0 – нулевая матрица;

3) AE=EA=A, где E – единичная матрица;

4) (A+B)C=AC+BC;

5) A(B+C)=AB+AC;

6) (AB)C=A(BC);

7) если A и B квадратные матрицы одного порядка, то det(AB)= detA∙detB.

Если A – квадратная матрица, то матрица B такая, что AB=BA=E, называется обратной относительно A и обозначается A-1, т.е. AA-1= A-1A=E.

Справедлива следующая теорема: Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной (т.е. detA≠0).

Обратная матрица невырожденной матрицы A=(aij) единственная и имеет вид:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ,

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij в detA, причём элементами i-ой строки матрицы A-1 являются алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы A=(aij).

Пример 1.Найти матрицу, обратную матрице А ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Решение. Находим определитель матрицы А, ∆=detA= –3. Так как ∆≠0, то обратная матрица существует.

Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A в определителе ∆. Напоминаем, что алгебраическое дополнение элемента aij находится по формуле Aij=(–1)i+jMij.

Для элементов матрицы A получаем

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ; ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ;

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ; ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ;

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ; ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru ;

A31= –3, A32=0, A33=0.

Составим обратную матрицу

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Выражение AXB=C, AX=B, XA=B, где A,B,C – матрицы и X – неизвестная матрица, называется матричным уравнением.

Если матрица A невырожденная, то уравнения AX=B, XA=B имеют единственное решение, соответственно X=A-1B и X=BA-1. Если матрица A – вырожденная, то принимаем элементы матрица X за неизвестные, вычисляем произведение и приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой части уравнения.

Пример 2. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Решение. Так как ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru , то матричное уравнение имеет единственное решение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru . Находим обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru . Так как A11=2, A12=-3, A21=-1, A22=2, поэтому ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru , ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Проверка: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru , ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Получаем ответ: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Пример 3.Найти все решения уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Решение. Для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru обратная матрица не существует. Запишем искомую матрицу в виде ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru . Тогда данное уравнение примет вид ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru или ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

Откуда получаем систему уравнений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Для нахождения ее решения достаточно найти решение системы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Эта система имеет бесчисленное множество решений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru , где x3, x4 – любые числа.

Ответ: Данному уравнению удовлетворяет бесчисленное множество матриц вида ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru , где x3, x4 – любые числа.

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 2

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 3

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 4

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 5

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 6

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 7

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 8

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 9

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 10

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 11

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 12

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 13

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 14

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Вариант 15

1. Решить матричное уравнение ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

2. Найти обратную матрицу для матрицы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

3. Найти все решения матричного уравнения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru .

4. Решить систему по правилу Крамера ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 МАТРИЦЫ - student2.ru

Наши рекомендации