Дробно-рациональные уравнения. Алгебраические уравнения И
Алгебраические уравнения И
Алгебраические неравенства
Уравнения высших степеней
Уравнение вида:
, (1)
где называется уравнением n-ой степени.
Если , уравнение называется линейным.
Если , уравнение называется квадратным.
Если , уравнение называется однородным.
Основными методами решения уравнений типа (1) при являются:
1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;
2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;
3) поиск корней среди делителей свободного члена.
Рассмотрим некоторые виды уравнений (1) и их решения.
Уравнения вида
решаются вынесением общего множителя за скобки:
и сведением к совокупности:
Уравнение вида
, , (2)
решаем заменой . Получаем уравнение , которое решается как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.
При уравнение (2) имеет вид
– биквадратное уравнение.
Уравнение
, (3)
где сводится к биквадратному уравнению заменой: .
Уравнение
, (4)
где и таковы, что и сводится к биквадратному заменой
или при к уравнению:
заменой
;
Уравнение
, (5)
где и делением на (т.к. – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:
,
далее заменой оно сводится к квадратному уравнению.
Уравнение
,
где и А таковы, что сводится к уравнению вида (5) после попарного перемножения выражений в скобках: .
Уравнения вида
, (6)
где , называются симметрическими уравнениями третьей степени.
Так как
, то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений:
Уравнения вида
, (7)
где , называются симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как – не является корнем уравнения (7), то деление обеих частей уравнения (7) на приводит его к уравнению:
или
.
Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение.
Выносим общий множитель за скобки:
.
Получаем совокупность уравнений
Ее решение дает три корня:
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение.
Заменяем и приходим к уравнению
.
Последнее уравнение имеет корни
Возвращаемся к переменной х:
Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:
Пример 3. .
Решение.
Задано уравнение вида (3). Заменяем
, т.е. . Подставим это значение в заданное уравнение:
.
После упрощения имеем
. Дополним до полного квадрата суммы
После упрощения уравнение приобретает вид
, т.е. .
Его решением является лишь .
Возвращаясь к переменной х, получим , что приводит к ответу .
Пример 4. .
Решение.
Имеем уравнение вида (4).
Так как и , перемножим попарно выражения в 1-й и 2-й скобках, а также в 3-й и 4-й. Получим
.
Заменяем .
Поскольку , и приходим к уравнению
.
Решая его как квадратное, получим корни:
Возвращаемся к переменной х:
Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, т.к. , а второе имеет корни
что и будет ответом.
Пример 5.Решить уравнение
.
Решение.
Имеем уравнение вида (5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на . Получаем
.
Введем замену , которая приводит к уравнению
, т.е.
.
Находим корни и возвращаемся к переменной х:
Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:
т.е.
Получаем в совокупности 4 корня:
Пример 6.Решить уравнение .
Решение.
Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена:
. Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Значит, многочлен разделится нацело на .
Воспользуемся правилом деления «углом»:
Данное уравнение равносильно уравнению:
,
решение которого сводится к совокупности
Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень .
Пример 8.Решить уравнение .
Решение.
Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на . Приходим к уравнению
.
Заменяем
,
соответственно,
и .
Приходим к уравнению вида
, т.е.
.
Находим корни
и возвращаемся к переменной х:
После упрощения получаем
При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня
что и является ответом.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Решите уравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8) .
II уровень
2.1. Решите уравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ;
6) ; 7) ;
8) ;
9) .
III уровень
3.1. Решите уравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ; 9) ;
10)
Дробно-рациональные уравнения
Стандартный вид дробно-рационального уравнения
, (8)
где – многочлены.
Область допустимых значений данного уравнения: . Решение уравнений (8) сводится к решению системы
Дробно-рациональные уравнению вида:
,
где – многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:
К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.
Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.
Пример 1.Решить уравнение .
Решение.
Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):
, т.е.
Его решением будет решение системы
т.е.
Значит, решением заданного уравнения является .
Пример 2.Решить уравнение .
Решение.
Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:
Получаем
Откуда
Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем
Пример 3.Решить уравнение .
Решение.
Группируем слагаемые
.
Заменяем
, откуда
,
т.е. и
.
Получаем уравнение
,
или, то же самое,
.
Полученное уравнение имеет корни
Возвращаемся к переменной :
В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений
которые решаем на ОДЗ: . Приходим к ответу
Пример 4.Решить уравнение .
Решение.
Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:
.
Получаем уравнение, которое приобретает вид
.
Заменяем и приходим к уравнению
.
Решая его, найдем корни:
Возвращаемся к старой переменной:
Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ) :
Приходим к ответу .
Пример 5.Решить уравнение .
Решение.
Введем замену:
. Тогда и получим уравнение
.
Решаем его:
, т.е. .
Решая квадратное уравнение, находим корни:
Вернемся к переменной х:
Решаем первое уравнение:
;
.
Второе уравнение не имеет решения, т.к. .
Получили ответ: .