Частотные характеристики линейных САУ.

Экзаменационный билет № 6

По дисциплине «Математические основы теории автоматического управления»

1. Постановка задачи синтеза одноканальных систем. Модальный метод синтеза.

2. Частотные характеристики линейных САУ.

3. Задача.

Проверить устойчивость системы с помощью критерия Михайлова

Постановка задачи синтеза одноканальных систем. Модальный метод синтеза.

• Обсудим содержание задачи синтеза для объекта, поведение которого описывается передаточной функцией

(6.3)

с ограниченным ресурсом управления, Влияние окружающей среды отражает возмущение M(t), а выходная переменная измеряется датчиком

(первичным измерительным

преобразователем, сенсором) с помехой измерения h(t),

= y + h(t) .

Здесь - оценка выходной переменой у. На рис.6.3 представлена схема такого объекта, где пунктиром выделен Рис. 6.3. Структурная схема объекта датчик.

Целью функционирования замкнутой системы регулирования является организация свойства:

при (6.4)

с заданной точностью

Наряду с условием статики (6.4) предъявляются требования и к динамике, то есть к характеру переходных процессов, в виде оценок

% % . (6.5)

что представляет собой основную сложность расчета.

Необходимо определить структуру и параметры регулятора, обеспечивающего выполнение требований (6.4) и (6.5) в условиях действия возмущений и помехи измерения.

Заметим, что единственной величиной, которую можно использовать для организации управляющего воздействия u, является полученная с помощью датчика оценка выходной величины . Поэтому в лучшем случае в системе с заданной точностью можно обеспечить выполнение свойства

при

а не условия (6.4). Таким образом, при выборе измерительного устройства следует придерживаться рекомендаций:

• 1) датчик должен обладать точностью не меньшей, чем требуемая точность системы в целом;
• 2) нужно отфильтровывать помеху, частотный состав которой отличается от рабочих частот системы.

Ошибка регулирования представляет собой сумму трех составляющих

одна из которых порожденная входным воздействием, может быть легко скомпенсирована с помощью масштабирования (см. раздел 3). Помеха h(t) высокочастотная, поэтому она проявляется в динамике, а в статике ее можно не учитывать

Следовательно, при синтезе необходимо обеспечить не более заданной статическую ошибку, порожденную возмущением,

Модальный метод

Метод применяется для расчета систем, работающих в режиме отработки начальных условий. При этом математическая модель объекта управления записывается в форме:

(6.41)

Требования к поведению замкнутой системы формулируются в виде условия статики (6.4):

lim y(t) = v при t с точностью

и оценок переходных процессов типа (6.5): и % % , от которых переходят к желаемому распределению корней на комплексной плоскости. Так как корни являются модальным характеристикам системы, то и метод синтеза называется “модальным”.

Структура регулятора предполагается известной, он описывается уравнением:

u = K x , (6.42)

где K - матрица неизвестных коэффициентов. Их необходимо определить таким образом, чтобы качество работы замкнутой системы, уравнения которой получают в результате подстановки (6.42) в (6.41),

(6.43)

соответствовало заданному. С этой целью записывают ее характеристическое уравнение,

. (6.44)

От заданного распределения корней переходят к желаемому характеристическому уравнению замкнутой системы:

. (6.45)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях p уравнений (6.44) и (6.45), получают соотношения для расчета элементов матрицы K в виде:

. (6.46)

В общем случае зависимость может быть нелинейной, поэтому найти K по выражению (6.46) не всегда удается даже для одноканального объекта, уравнения которого предварительно записывают в канонической форме.

Поскольку одноканальный объект удобнее описывать с помощью передаточной функции, обсудим соответствующую методику модального метода синтеза.

Частотные характеристики линейных САУ.

Частотные характеристики линейных САУ рассчитываются через передаточные функции: если W(p) – передаточная функция, то W(j)– частотная характеристика (ЧХ), получаемая из передаточной функции путём замены в ней p на j ЧХ как комплексное число может быть представлено в показательной и алгебраической формах.

Показательная форма:

(1.22)

Эта запись позволяет найти еще две важнейшие характеристики: АЧХ и ФЧХ:

A(ω) – амплитудо-частотная характеристика (АЧХ);

W(jω) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Алгебраическая форма:

W(j)=P()+jQ(w) (1.23)

Данное выражение порождает еще две характеристики: – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) и – мнимо-частотная характеристика (МЧХ).

График ЧХ на комплексной плоскости называется годографом(рис.1.7).

Между величинами A, ᵠ, P и Q существуют связи (аргумент ɷопущен):

(1.24)

Особенности вычислений ЧХ можно проследить только на числовом

Примере 3.3.