Задача об использовании сырья
Постановка задачи. Построить обобщенную математическую модель для определения максимальной прибыли предприятия от изготовления (N) видов продукции из (К) видов сырья. Пусть аij – количество i-го сырья, расходуемого на единицу j-й продукции, а bi – количество сырья. Обозначим сj прибыль от единицы j-й продукции. Следует воспользоваться обозначениями и данными задачи об использовании сырья из подраздела 3.7. Варианты заданий представлены в табл. 5.17.
Таблица 2
Вариант задания
Номер варианта | Задача 7 | Задача 8 | ||
N | K | M | L | |
В табл.2 N – число видов продукции, K – число видов сырья, M – число видов отливок, L – число машин.
Решение постановки задачи №2:
Для составления математической модели введем обозначения: аij – количество i-го сырья, расходуемого на единицу j-й продукции, а bi – количество сырья, сj прибыль от единицы j-й продукции, Пj- вид продукции.
Шаг 1: определение максимальной прибыли предприятия от изготовления (N) видов продукции из (К) видов сырья произведем в соответствии со следующей таблицей.
запас сырья | П1 | П2 | П3 | П4 | П5 |
b1 | a11 | a12 | a13 | a14 | a15 |
b2 | a21 | a22 | a23 | a24 | a25 |
b3 | a31 | a32 | a33 | a34 | a35 |
а11 – количество сырья В1, расходуемого на единицу продукции П1.
аij – количество i-го сырья, расходуемого на единицу j-й продукции ,
b1,b2,b3-количества сырья на складе, из которого предприятие изготавливает три вида продукции.
Шаг 2: Для составления математической модели введем обозначения:
Пусть: Х1- это количество продукции П1,изготавляемого на предприятии;
Х2- это количество продукции П2,изготавляемого на предприятии;
Х3- это количество продукции П3,изготавляемого на предприятии;
Тогда: а11х1-количество сырья b1 необходимое, для изготовление продукции П1;
а21х1-количество сырья b2 необходимое, для изготовление продукции П1;
а31х1-количество сырья b3 необходимое, для изготовление продукции П1;
а1jхi-количество сырья b1 необходимое, для изготовление продукции Пi;
а2jхi-количество сырья b2 необходимое, для изготовление продукции Пi;
а3jхi-количество сырья b3 необходимое, для изготовление продукции Пi;
а12х2-количество сырья П1 необходимое, для изготовление продукции П2;
а12хi-количество сырья П1 необходимое, для изготовление продукции Пi;
Шаг 3. Составим условия ограничения запасов сырья.
Количество сырья необходимое для изготовления всех видов продукции на предприятии будет равно:
а11∙х1+а12∙х2+а13∙х3+ а14∙х4+ а15∙х5
Тогда баланс по сырью вида В1 может быть записан в виде неравенства :
а11∙х1+а12∙х2+а13∙х3+ а14∙х4+ а15∙х5 ≤ В1
Аналогично для остальных видов сырья.
а21∙х1+а22∙х2+а23∙х3+ а24∙х4+ а25∙х5 ≤ В2
а31∙х1+а32∙х2+а33∙х3+ а34∙х4+ а35∙х5 ≤ В3
При этом нужно выполнять условие неотрицательности решения
х1≥0, х2≥0, х3≥0.
Шаг 4. Расчет прибыли от изготовления продукции.
Общая прибыль предприятия от изготовленной продукции имеет вид:
С=с1∙х1+с2∙х2+с3∙х3 +c4∙x4+c5∙x5+c6∙x6≥max- целевая функция.
Окончательная обобщенная математическая модель имеет вид:
Максимальная прибыль предприятия от изготовленной продукции Сmax=с1∙х1+с2∙х2+с3∙х3 +c4∙x4+c5∙x5+c6∙x6 будет обеспечена при условии:
а11∙х1+а12∙х2+а13∙х3+ а14∙х4+ а15∙х5 ≤ В1
а21∙х1+а22∙х2+а23∙х3+ а24∙х4+ а25∙х5 ≤ В2
а31∙х1+а32∙х2+а33∙х3+ а34∙х4+ а35∙х5 ≤ В3
х1≥0, х2≥0, х3≥0.
Выводы: Решение данной системы – это поиск неотрицательной комбинации ( х1,х2,х3 ) при ( xi≥0 ), ( оптимальный план ), при котором функция цели C = с1∙х1+с2∙х2+с3∙х3+c4∙x4+c5∙x5+c6∙x6 принимает наибольшее значение ( максимизируется ) .
3. Графическое решение задач линейного программирования.
Постановка задачи. Решить задачу линейного программирования. Определить значения х1 и х2, при которых функция цели С = ах + вх имеет экстремум, для ограничений типа
Во всех заданиях . Варианты заданий представлены в табл. 3
Таблица 3
Вариант задания
![]() ![]() ![]() ![]() |
Решение постановки задачи №3:
Решить задачу линейного программирования – это значит определить такие значения х1, х2, при которых целевая функция имеет экстремум в области, удовлетворяющей ограничениям:
Решить графически систему (1) – это значит построить многоугольник, отражающий систему неравенств, и определить значение целевой функции в вершинах этого многоугольника. Экстремальному значению целевой функции и соответствует оптимальный план (х1, х2). Основная цель поиска оптимального плана состоит в нахождении функции цели (Ф) в вершинах многоугольника, полученного в результате решения заданной системы неравенств.
Шаг 1: сформируем условие задачи:
![]() |
![задача об использовании сырья задача об использовании сырья - student2.ru](/images/matematika/zadacha-ob-ispolzovanii-syrya-437257-11.png)
Х1 Х2
Функция цели имеет вид:
Шаг 2:Преобразуем систему неравенств к каноническому виду
Шаг 3 . Изобразим множество точек, удовлетворяющих условиям на плоскости ( рис. 1 ).
Прямая А Прямая Б Прямая В
графическое решение выше указанной системы неравенств представим в Табл. 3.2.
![]() | ![]() | ![]() | |||
x1 | x2 | x1 | x2 | x1 | x2 |
-6 | |||||
-6 |
![]() |
Шаг 4: из полученной области АВСD определяем множество значений х1, х2, для которых выполняются соответствующие неравенства и координаты точек А, В, С и D.
Координаты точек имеют следующие значения: A(3.4;2.8) B(4.5;2) C(4;0) D(3;0)
Шаг 5: подставляя найденные координаты вершин многоугольника, находим значения целевой функции в этих вершинах:
С(А)=12.4;
С(В)=13;
С(С)=8;
C(D)=6.
Вывод:
Min значение функция цели достигает в точке D(3;0)(х1=3, х2=0)
Max значение функция цели достигает в точке B(4.5;2) (х1=4.5 х2=2).