Пример выполнения работы. Найти наименьший положительный корень уравнения
Найти наименьший положительный корень уравнения
.
1. Область определения функции ее производные
2. Строим графики функций: находим точки пересечения графиков. Из рис. 2.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри отрезка . Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем: Поскольку и функция непрерывна, то в силу теоремы 1 внутри отрезка имеются корни. Поскольку и для всех , следовательно для всех , т. е. функция возрастающая на . Поэтому на основании теоремы 2 внутри этого отрезка имеется один корень уравнения и он может быть взят в качестве начального.
Рис. 2.6. Графики функций и
3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления; результаты заносим в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Уточнение начального отрезка методом половинного деления
N | |||||||
0,5 | 1,0 | 1,5 | 1,0 | – 0,974 | – 0,386 | 1,766 | |
1,0 | 1,25 | 1,5 | 0,5 | – 0,386 | 0,449 | 1,766 | |
1,0 | 1,125 | 1,25 | 0,25 | – 0,386 | – 0,023 | 0,449 | |
1,125 | 1,1875 | 1,25 | 0,125 |
В результате получаем: уточненный отрезок [1,125; 1,250]; приближенное значение корня ; погрешность корня равной . При этом были введены следующие дополнительные обозначения: .
Дальнейшее уточнение корня проводим комбинированным методом. Так как , то левый конец отрезка [1,125; 1,250] уточняем методом хорд, а правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (2.13). Результаты вычислений заносим в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Уточнение корня комбинированным методом
N | ||||||
1,125 | 1,250 | 0,125 | – 0,023092 | 0,444045 | 4,243056 | |
1,131114 | 1,144170 | 0,013056 | – 0,002622 | 0,041961 | 3,460994 | |
1,131882 | 1,132046 | 0,000164 |
Так как , вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень уравнения
4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию
Строим график функции на найденном начальном интервале [0,5;1,5] (рис. 2.7)
Рис. 2.7. График функции f(x)
Характеристики графика свидетельствуют, что функция непрерывна, и существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет направление выпуклости) и что корень уравнения лежит в интервале [0,5;1,5], причем единственный. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы. После этого находим корень с точностью до с помощью встроенной функции системы Mathcad
5. Выписываем точное решение и сравниваем полученные результаты ручного и машинного счета. Определяем погрешность:
6. Определяем с помощью компьютера значение корня методом половинного деления с точностью . По формуле, чтобы удовлетворить погрешности , для начального отрезка единичной длины необходимо провести шагов.
Выписываем автоматически вычисленное по этой формуле в соответствующем разделе количество шагов и таблицу 2.4, содержащую первые и последние три шага получившейся матрицы приближений корня методом половинного деления.
Таблица 2.4
Отыскание корня методом половинного деления
N | … | |||||||
0,5 | 1,0 | 1,0 | 1,125 | … | 1,131836 | 1,131866 | 1,131882 | |
1,5 | 1,5 | 1,25 | 1,25 | … | 1,131897 | 1,131897 | 1,131897 |
Получим корень , абсолютная погрешность которого .
7. Получим на компьютере значение корня методом Ньютона с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.7) определяем погрешность . Следовательно, увеличивая N на единицу, вводим в программу и получаем . То есть требуемая точность достигнута (если это не так продолжаем увеличивать N на единицу).
. Выписываем получившуюся таблицу 2.5 для .
Таблица 2.5
Отыскание корня методом Ньютона
N | |||||
1,5 | 1,221958726 | 1,139300286 | 1,131948438 | 1,131892063 |
Получим приближенный корень , абсолютная погрешность которого .
8. Вычисляем на компьютере значение корня методом хорд с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.10) получим и оценим погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу, вводим , для которого . Увеличиваем N еще на единицу, вводим , для которого . Т. е. требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу).
Выписываем первые и последние два шага из получившейся таблицы для .
Таблица 2.6
Отыскание корня методом хорд
N | … | |||||
0,5 | 0,855440054 | 1,035664929 | … | 1,131891898 | 1,131892012 |
Получим корень , абсолютная погрешность которого .
9. Вычисляем на компьютере значение корня комбинированным методом с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и получаем по формуле (2.13) погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу и вводим , для которого . То есть требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу).
Выписываем получившуюся таблицу 2.7 для .
Таблица 2.7
Отыскание корня комбинированным методом
N | |||||
0,5 | 0,8554400542 | 1,1020813008 | 1,1316586589 | 1,1318920464 | |
1,5 | 1,2219587264 | 1,1393002857 | 1,1319483820 | 1,1318920634 |
Получим корень , абсолютная погрешность которого .
10. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.
Вопросы для самоконтроля
1. Уравнение какого типа решается в данной работе?
2. Что называется корнем уравнения ?
3. Как графически решить уравнения ?
4. Перечислите достоинства и недостатки графического метода.
5. В чем состоит этап отделения корней уравнения ?
6. Сколько корней должна иметь функция на начальном отрезке ?
7. Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке?
8. Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке?
9. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на начальном отрезке ?
10. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке ?
11. Привести алгоритм решения уравнения методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию ?
12. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона?
13. Как выбирается начальная точка в методе Ньютона?
14. Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности.
15. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом хорд?
16. Как выбирается начальная точка в методе хорд?
17. Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности.
18. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить комбинированным методом?
19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул?
20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?