Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.
Матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Обозначения матрицы:
а11 а12…а1n
а21 а22…а2n или, сокращенно, А = ( аij ) m,n
А = …………..
аm1 аm2…аmn
где аij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке, j-м столбце;
m – количество строк матрицы;
n – количество столбцов матрицы.
Числа m, n определяют размеры матрицы (m – размер матрицы по вертикали, n – размер по горизонтали).
Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей n-го порядка.
Квадратную матрицу, у которой все элементы, стоящие по главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, называют единичной матрицей и обозначает Е или Еn , где n – порядок матрицы. Например,
1 0 0
Е3 = 0 1 0 - единичная матрица 3-го порядка.
0 0 1
Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, элементы которой находят путем алгебраического сложения соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы с одинаковыми размерами. Например, если
а11 а12 в11 в12 а11+в11 а12+в12
А = а21 а22 , В = в21 в22 , то С = А+В = а21+в21 а22+в22 .
а31 а32 в31 в32 а31+в31 а32+в32
Произведением матрицы А на число а называется матрица В с теми же размерами, что и матрица А. Элементы матрицы В получают умножением числа а на соответствующие элементы матрицы А. Например, если
а11 а12 аа11 аа12
А = а21 а22 , то В = аА = аа21 аа22 .
а31 а32 аа31 аа32
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С. Покажем вначале, как умножается матрица-строка на матрицу-столбец.
![]() |
в11
Пусть С = А×В = а11 а12 а13 × в21 .
в31
В этом случае матрица С = с11 состоит из одного элемента, который равен сумме произведений элементов строки 1-й матрицы на соответствующие элементы столбца 2-й матрицы:
с11 = а11в11 + а12в21 + а13в31.
В дальнейшем будем называть такое действие умножением строки на столбец.
Пусть теперь
а11 а12 а13 в11 в12 в13
А = , В = в21 в22 в23 .
а21 а22 а23 в31 в32 в33
Матрицы могут быть перемножены только в том случае, если их размеры согласованы:
А ×В = С.
m×p p×nm×n
Размеры, неподчеркнутые, должны быть одинаковыми. Размеры, подчеркнутые одной черточкой, являются одновременно размерами матрицы С. В рассматриваемом ниже примере матрицы согласованы и могут быть перемножены:
![]() | ![]() | ![]() |
а11 а12 а13 в11 в12 в13 с11 с12 с13
× в21 в22 в23 = .
а21 а22 а23 в31 в32 в33 с21 с22 с23
2×3 3×32×3
Элемент с11 матрицы С получается умножением 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 1-го столбца матрицы В:
с11 = а11в11 + а12в21 +а13в31 .
Элемент с12 получается умножением 1-й строки матрицы А на 2-й столбец матрицы В:
с12 = а11в12 + а12в22 +а13в32 .
Элемент с13 получается аналогично умножением 1-й строки матрицы А на 3-й столбец матрицы В. Таким образом, элементы первой строки матрицы С получаются умножением первой строки матрицы А сначала на 1-й столбец матрицы В, затем на 2-й и на 3-й столбцы этой матрицы.
Элементы второй строки матрицы С получаются умножением второй строки матрицы А последовательно на 1-й, 2-й и 3-й столбцы матрицы В, например:
а11 а12 а13 в11 в12 в13 с11 с12 с13
× в21 в22 в23 = .
а21 а22 а23 в31 в32 в33 с21 с22 с23
с21 = а21в11 + а22в21 +а23в31 .
Особенности операции умножения матрицы на матрицу является то, что она в общем случае не обладает перестановочным свойством:
А×В ≠ В×А
Операция транспонирования матрицы А сводится к переписыванию каждой i-й строки матрицы А в i-й столбец матрицы АТ. Здесь АТ – обозначение транспонированной матрицы.
Пример: Выполнить указанные действия: (C – 2E3)2 + RQT.
(матрицы C, Q, R взять из задания 1).
Решение: (C – 2E3)2 + RQT =
2
3 2 0 1 0 0 7 0 6 3 Т
= -4 5 1 - 2× 0 1 0 + 2 -4 × 2 0 =
-2 3 4 0 0 1 1 3 1 -4
![]() | ![]() | ![]() |
1 2 0 1 2 0 7 0 6 2 1
= -4 3 1 × -4 3 1 + 2 -4 × 3 0 -4 =
-2 3 2 -2 3 2 1 3
![]() | ![]() | ![]() |
-7 8 2 42 14 7 35 22 9
= -18 4 5 + 0 4 18 = -18 8 23
-18 11 7 15 2 -11 -3 13 -4 .
Определители.
Для квадратных матриц любого порядка вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.
а11 а12
Определителем матрицы второго порядка А =
а21 а22
называется число, равное а11а22 – а21а12.
Для обозначения определителей используют символы:
а11а12
det A, А, , а21а22 , А .
Несмотря на то, что определитель, по определению, одно число, говорят о порядке, строках, столбцах и элементах определителя, имея при этом в виду порядок, строки, столбцы и элементы матрицы, для которой вычисляется определитель. Например,
2
-1
0 3
определитель 2-го порядка, который имеет две строки и два столбца. Элементами определителя являются числа 2, -1, 0, 3. Его значение равно 2×3 – 0×(-1) = 6.
Минором какого-либо элемента определителя называют определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится указанный элемент.
Минор элемента аij определителя обозначается Mij.
а11 а12 а13
Например, для определителя третьего порядка а21 а22 а23
а31 а32 а33
а11 а12 а13 а22 а23 а21 а23
М11 = а21 а22 а23 = , М12 = и т.д.
а31 а32 а33 а32 а33 а31 а33
Алгебраическое дополнение элемента аij определяется равенством Аij = (-1)i+j Mij.
Например, для определителя третьего порядка:
а22 а23
А11 = (-1)1+1 М11 = М11 = ,
а32 а33
а21 а23
А12 = (-1)1+2 М12 = - М12 = – , и т.д.
а31 а33
Определителями третьего и более высоких порядков называются числа, которые могут быть найдены по следующему алгоритму:
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Например:
2
4 6 3 0 1 0 1 3
1 3 0 = 2×(-1)1+1 + 4×(-1)1+2 + 6×(-1)1+3 =
-5 2 0 2 0 -5 0 -5 2
2×0 – 4×0 + 6×17=102.
Здесь определитель найден разложением по первой строке. Однако вычисления становятся существенно проще, если этот же определитель разложить по третьему столбцу:
2 4 6 1 3
1 3 0 = 6×(-1)1+3 + 0 + 0 = 102.
-5 2 0 -5 2
Второе и третье слагаемые равны нулю, так как равны нулю соответствующие элементы в третьем столбце. Таким образом, определитель лучше всего раскладывать по той строке или тому столбцу, где больше нулей.
Перечислим некоторые свойства определителей (они справедливы для определителей любого порядка). Эти свойства могут быть использованы при выполнении индивидуального задания.
Свойства определителей:
1. det A = det AT.
2. Если в определителе, не равном нулю, поменять местами две строки (два столбца), то значение определителя изменит знак, например:
а11 а12 а21 а22
а21 а22 = - а11 а12 .
3. Умножение всех элементов какой-либо одной строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на число k, например:
а11 а12 а11 а12
kа21 kа22 = k а21 а22 .
4. Если:
а) все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю или
б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.
5. Определитель не изменит своего значения, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, например:
а11 а12 а13
а11 а12 а13
а21 а22 а23 = а21 а22 а23 .
а31 а32 а33 а31+kа11 а32+ka12 а33+ka13
Аналогичное правило справедливо для столбцов определителя.
Покажем на примерах, как применяются некоторые перечисленные свойства.
а1 в1 с1 а1 а2 а3
Пример 1: Найти а2 в2 с2 , если в1 в2 в3 = 6.
а3 в3 с3 с1 с2 с3
Решение: Очевидно, что первый определитель может быть получен из второго заменой строк на столбцы. Если обозначить
а1 а2 а3 а1 в1 с1
А = в1 в2 в3 , то а2 в2 с2 = det AT = det A = 6.
с1 с2 с3 а3 в3 с3
![]() | ![]() |
Пример 2: Вычислить 64 5
32 15
Решение: Вынесем из 1-го столбца множитель «32», из 2-го столбца – множитель «5»:
64 5 2 1
= 32×5 = 160×5 = 800
32 15 1 3
Раздел 2.Системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов.
В данном разделе рассматриваются системы, для которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений (при этом матрица коэффициентов является квадратной):
а11х1 + а12х2 +…+ а1nхn = в1
а21х1 + а22х2 +…+ а2nхn = в2 (1)
……………………………
аn1х1 + аn2х2 +…+ аmnхn = вn
В матричной форме система, уравнений (1) имеет вид:
а11 + а12 +…+ а1n х1 в1
а21 + а22 +…+ а2n × х2 = в2 (2)
………………… … …
аn1 + аn2 +…+ аmn хn вn
Или A×X = B, (3)
где A – матрица коэффициентов при неизвестных;
Х – матрицанеизвестных;
В– матрицасвободных членов.
Определителем систем уравнений называется определитель матрицы коэффициентов:
а11 + а12 +…+ а1n
а21 + а22 +…+ а2n (4)
= …………………
аn1 + аn2 +…+ аmn
Теорема о решениях систем уравнений:
- Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.
- Если определитель равен нулю, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество решений.
В типовых расчетах рассмотрены три метода решения систем линейных алгебраических уравнений:
- по формулам Крамера;
- метод Гаусса;
- матричный метод.
Если ≠ 0, то система (1) может быть решена любым из трех методов. Если = 0, то систему удобнее решать методом Гаусса, так как применение первых двух методов в этом случае невозможно без предварительного преобразования системы.
Формулы Крамера
Если ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:
х1= 1
, х2= 2 , … ,хn= n .
![]() |
Определитель 1 получается из определителя системы (4) заменой 1-го столбца на столбец свободных членов; аналогично находят определители 2 , 3 и т. д.:
в1а12 … а1n а11в1… а1n а11а12… в1
в2а22 … а2n а21в2… а2n а21а22… в2
1= ………….. , 2= ………….. , n = …………
вnаn2 … аmn аn1вn… аmn аn1аn2… вn
Прежде чем рассмотреть пример, отметим, что если неизвестных немного, то вместо обозначений х1, х2, х3, … удобнее использовать обозначения х, у, z, … .
x + 2y + 3z = 14
Пример: Решить систему уравнений 2x + y =13 .
2x + 3y – 4z = 23
Решение.
1 2 3 14 2 3 1 14 3 1 2 14
= 2 1 0 =24; Х = 13 1 0 =96; У= 2 13 0 =120; Z= 2 1 13 =0.
2 3 -4 23 3 -4 2 23 -4 2 3 23
![]() |
Так как = 24 ≠ 0, то существует единственное решение системы:
х = х
= 96/24 =4; у = y = 120/24 = 5; z = z = 0/24 = 0.
Таким образом, х = 4; у = 5; z = 0.
Метод Гаусса.
Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Напомним, что две системы уравнений называются равносильными, если решения одной системы совпадают с решениями другой либо обе системы несовместны.
Здесь рассмотрена одна из разновидностей метода Гаусса – метод Жордано-Гаусса, или метод полного исключения, отличающийся, тем, что матрица коэффициентов преобразуется не к треугольному виду, а к единичной матрице, что позволяет сразу записать решение системы, если, конечно, оно существует.
Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:
1 – перестановка уравнений в системе;
2 – умножение любого уравнения на любое число, не равное нулю;
3 – прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;
4 – отбрасывание уравнений в которых все коэффициенты и свободный член равны нулю (уравнения вида 0 = 0).
Цель преобразований (метод Жордано-Гаусса) – свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.
3х – у + 4z = 5
Пример: Решить систему уравнений 2х + у – z = 5 .
х + 2у + 2z = 4
Решение. Составим расширенную матрицу системы:
3 -1 4 5
2 1 -1 5
1 2 2 4
Расширенная матрица включает в себя элементы матрицы коэффициентов, записанные слева от вертикальной черты, и столбецсвободных членов, записанный справа от черты. Эта матрица является, по существу, сокращенной записью системы уравнений. Применяяэквивалентные преобразования к строкам расширенной матрицы, сводим матрицу коэффициентов к единичной матрице:
3 -1 4 5 1 2 2 4 1 2 2 4
2 1 -1 5 (1) 2 1 -1 5 (2) 0 -3 -5 -3 (3)
1 2 2 4 3 -1 4 5 0 -7 -2 -7
1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4
0 3 5 3 (4) 0 3 5 3 (5) 0 1 -8 1 (6)
0 7 2 7 0 1 -8 1 0 3 5 3
1 0 18 2 1 0 18 2 1 0 0 2
0 1 -8 1 (7) 0 1 -8 1 (8) 0 1 0 1
0 0 29 0 0 0 1 0 0 0 1 0
(1) – поменяем местами 1-ю и 3-ю строки (т.е. поменяем местами 1-е и 3-е уравнения в системе);
(2) – получим два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3» (т.е. ко 2-му уравнению системы прибавим 1-е, умноженное на «-2», а к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на «-3»);
(3) – умножим 2-ю и 3-ю строки на «-1»;
(4) – получим единицу во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-2»;
(5) – поставим единицу во 2-м столбце на «свое» место. Для этого поменяем местами 2-ю и 3-ю строки;
(6) – получим два нуля во 2-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-3»;
(7) – получим единицу в 3-м столбце, 3-й строке. Для этого разделим 3-ю строку на «29»;
(8) – с помощью полученной единицы получим два нуля в 3-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 3-ю, умноженную, на «-18», а ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на «8».
Таким образом, получили расширенную матрицу с единичной матрицей коэффициентов. Перепишем теперь найденную эквивалентную систему уравнений в обычном виде:
![]() |
х + 0у + 0z = 2
0х + 1у + 0z = 1 .
0х + 0y + 1z = 0
Отсюда следует х = 2; у = 1; z = 0.
Матричный метод
Введем понятие обратной матрицы:
Матрица, обозначаемая А-1, для которой выполняются равенства А×А-1 = А-1×А = Е, где Е – единичная матрица, называется обратной по отношению к квадратной матрице А.
Если Det А ≠ 0,то существует единственная обратная матрица А-1 ,
если Det A = 0, то обратная матрица А-1 не существует.
Обратную матрицу находят по формуле А-1 = (1/det А)×(А٧ )Т, где
Av- матрица, составленная из алгебраических дополнений:
А11 А12…А1n
А٧ = А21 А22…А2n
..……………. .
Аn1 Аn2…Аnm
Система уравнений (1) может быть записана в матричной форме:
А × X = В (5)
где А,В – известные матрицы, причем матрица А - квадратная;
X – матрица неизвестных.
Если det А ≠ 0, то существует обратная матрица А-1. Умножим обе части матричного уравнения (5) на А-1 слева:
А-1×А×Х = А-1× В.
Так как А-1 × А = Е, Е × Х = X , то получим следующую формулу
для нахождения матрицы X:
X = А-1× В. (6)
Матричный метод решения может быть применен, если det А ≠ 0, так как, в противном случае обратная матрица не существует.
2х + 3у – z = 8
Пример: Решить систему уравнений 2y – z = 3
x – 2y + 3z = -3
2 3 -1 х 8
Решение: В матричном виде система запишется как 0 2 -1 × у = 3
1 -2 3 z -3
или А×Х = В. Решение имеет вид Х = А-1×В, где
2 3 -1 А11 А12 А13
А-1=(1/det А)×( А٧ )Т, det А = 0 2 -1 = 7, А٧ = А21 А22 А23 .
1 -2 3 А31 А32 А33
Определитель det А ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица и единственное решение системы. Найдем алгебраические дополнения:
А11 = 4; А12 = -1; А13 = -2; А21 = -7; А22 = 7; А23 = 7; А31 = -1; А32 = 2; А33 = 4;
4 -1 -2 4 -7 -1 4 -7 -1
А٧ = -7 7 7 ; ( А٧ )Т= -1 7 2 ; А-1=1/7 -1 7 2 ;
-1 2 4 -2 7 4 -2 7 4
4 -7 -1 8 32 – 21 + 3 2
Х = 1/7 -1 7 2 × 3 = 1/7 -8 + 21 – 6 = 1 .
-2 7 4 -3 -16 +21 – 12 -1
Отсюда следует: х = 2, у = 1, z = -1.
Матричные уравнения.
Пусть задано матричное уравнение АХ = В, причем матрица А – квадратная и существует обратная матрица А-1 . Решение ищут, умножая исходное уравнение на А-1 слева. Решение имеет вид:
X = А-1 В.
Аналогично решается уравнение Y×С = В в том случае, когда матрица С квадратная и существует обратная матрица С-1 . Обе части уравнения умножаются на С-1 справа. Получаем формулу для нахождения неизвестной матрицы Y:
Y = B×C-1.
Для решения уравнения А×Х×С = В нужно обе его части умножить на А-1 слева и на С-1 справа. Получим:
X = А-1 В С-1.
1 -3 -1 -2 -9 2
Пример: Решить уравнение 2 2 0 × Х = 4 8 -2
2 4 2 12 16 -2
Решение. Запишем уравнение в виде А×Х=В. Неизвестную матрицу Х найдем по формуле Х=А-1×В.
1 -3 -1 А11 А12 А13
А-1 = (1/det А)×( А٧ )Т, где det A = 2 2 0 = 12, А٧= А21 А22 А23 ;
2 4 2 А31 А32 А33
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
4 -4 4 4 2 2 4 2 2 2 1 1
А٧ = 2 4 -10 ; ( А٧ )Т = -4 4 -2 ; А-1 = 1/12 -4 4 -2 = 1/6 -2 2 -1 ;
2 -2 8 4 -10 8 4 -10 8 2 -5 4
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
2 1 1 -2 -9 2 12 6 0 2 1 0
Х = 1/6 -2 2 -1 × 4 8 -2 = 1/6 0 18 -6 = 0 3 -1 .
2 -5 4 12 16 -2 24 6 6 4 1 1
Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.
Матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA=0.
В соответствии с теоремой о решениях, систем уравнений, если
главный определитель системы det A = 0, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество
решений.
В этом случае (когда det А = 0) формулы Крамера хj = j не
могут быть использованы (на ноль делить нельзя). Неприменим и матричный метод, поскольку обратная матрица А-1 не существует. Систему можно решить методом Гаусса.
х + у + 3z = 5
Пример: Решить систему уравнений 2х – 2у + z = -3 .
х + 5у + 8z = 10
1 1 3
Решение. = 2 -2 1 = 0.
1 5 8
Поскольку = 0, матрица коэффициентов системы вырождена. Для решения используем метод Гаусса:
![]() | ![]() | ![]() |
1 1 3 5 1 1 3 5 1 1 3 5
2 -2 1 -3 (1) 0 -4 -5 -13 (2) 0 -4 -5 -13 ;
1 5 8 10 0 4 5 5 0 0 0 -4
(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;
(2) – нужно получить два нуля во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю. При этом замечаем, что 3-е уравнение в системе противоречиво: 0х + 0у + 0z = -4.
Третье уравнение в системе не выполняется ни при каких x, y, z. Следовательно, система уравнений не имеет решений (несовместна).
х + у – 3z = 4
Пример: Решить систему уравнений 3х – у – z = 16 .
х – 2у + 3z = 7
1 1 -3
Решение. = 3 -1 -1 = 0.
1 -2 3
Так как = 0, матрица коэффициентов системы вырожденная. Для решения используем метод Гаусса:
![]() | ![]() |
1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 0 -1 5
3 -1 -1 16 (1) 0 -4 8 4 (2) 0 1 -2 -1 (3) 0 1 -2 -1 ;
1 -2 3 7 0 -3 6 3 0 1 -2 -1 0 0 0 0
(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;
(2) – разделим 2-ю строку на «-4», а 3-ю на «-3»;
(3) – нужно получить два нуля во 2-ом столбце. Для этого к 1-й и 3-й строкам прибавим 2-ю, умноженную на «-1».
Перепишем полученную систему уравнений в обычном виде:
х + 0у – z = 5
0х + у – 2z = -1
0х + 0у + 0z = 0 .
Поскольку третье равенство выполняется при любых х, у, z, его можно не рассматривать. Таким образом, имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Перепишем ее в виде:
х = z +5
y = 2z – 1.
Примем z = t, где t принадлежит R (множество действительных чисел). Получим бесконечное множество решений:
х = t +5
y = 2t – 1
z = t.
Проверим правильность найденного решения подстановкой:
![]() |
(t +5) + (2t – 1) – 3t = 4
3(t +5) – (2t – 1) – t = 16
(t +5) – 2(2t – 1) + 3t = 7.
Подставляем численные значения t, получим частные решения:
х = 5 х = 6
например, при t = 0 y = – 1, при t = 1 y = 1 и т. д.
z = 0 z = 1