Теорема. Критерий с.к.-дифференцируемости.

Элементы стохастического анализа

Виды сходимости последовательности СВ в пространстве .

1) Последовательность СВ называется сходящейся почти наверное к СВ ( ), если

(за исключением быть может ).

2) Последовательность СВ называется сходящейся по вероятности к СВ ( ), если

.

3) Последовательность СВ называется сходящейся в среднеквадратическомсмысле к СВ ( ), если

.

Из сходимости почти наверное сходимость по вероятности. Из сходимости в среднеквадратическом сходимость по вероятности.

.

Мы рассматриваем гильбертовы СП, т.е. для которых .

Так как существуют разные виды сходимости для СВ, то соответствующим образом существуют различные виды непрерывности для СП. Кроме того, для различных видов непрерывности (а также дифференцируемости, интегрируемости и др.) имеются соответствующие критерии, которые позволяют установить непрерывность СП (дифференцируемость, интегрируемость и др.).

СП называется непрерывным на Т, если . Почти все траектории непрерывного СП являются непрерывными в обычном смысле функциями. Непрерывный СП является почти наверное непрерывным в каждой точке , . Но не наоборот в общем случае.

Непрерывность в смысле сходимости по вероятности называется стохастической непрерывностью; это самый слабый из рассматриваемых видов непрерывности.

СП называется стохастически непрерывным в точке , если .

Наиболее важной является среднеквадратическая непрерывность.

СП называется среднеквадратически (с.к.-) непрерывным в точке , если .

СП называется с.к.-непрерывным на Т, если он непрерывен в каждой точке .

Теорема. Для с.к.-непрерывности СП в точке необходимо и достаточно, чтобы матожидание было непрерывно в , а корреляционная функция непрерывна в точке .

Из теоремы сразу следует, что должна быть непрерывной.

Чтобы исследовать с.к.-непрерывность СП достаточно исследовать непрерывность ее моментных характеристик.

Пример. Пуассоновский процесс.

Пуассоновский процесс имеет следующий физический смысл: при всяком величина численно равна количеству событий из простейшего потока интенсивности , произошедших к моменту времени .

При каждом сечение имеет распределение Пуассона с параметром :

СП сходится по вероятности , но реализации разрывны. Это происходит потому, что разрывы на каждой реализации в своих точках, и вероятность того, что разрыв будет именно в данной точке равна 0.

Дифференцируемость СП

СВ называется с.к.-производной СП в точке , если выполняется

.

Если предел существует, то является с.к.-дифференцируемым в точке . Если дифференцируем в каждой точке , то говорят, что с.к.-дифференцируем на интервале , а семейство СВ называется с.к.-производной СП на .

Теорема. Критерий с.к.-дифференцируемости.