Теорема. Критерий с.к.-дифференцируемости.
Элементы стохастического анализа
Виды сходимости последовательности СВ в пространстве .
1) Последовательность СВ называется сходящейся почти наверное к СВ
(
), если
(за исключением быть может
).
2) Последовательность СВ называется сходящейся по вероятности к СВ
(
), если
.
3) Последовательность СВ называется сходящейся в среднеквадратическомсмысле к СВ
(
), если
.
Из сходимости почти наверное сходимость по вероятности. Из сходимости в среднеквадратическом
сходимость по вероятности.
.
Мы рассматриваем гильбертовы СП, т.е. для которых .
Так как существуют разные виды сходимости для СВ, то соответствующим образом существуют различные виды непрерывности для СП. Кроме того, для различных видов непрерывности (а также дифференцируемости, интегрируемости и др.) имеются соответствующие критерии, которые позволяют установить непрерывность СП (дифференцируемость, интегрируемость и др.).
СП называется непрерывным на Т, если . Почти все траектории непрерывного СП являются непрерывными в обычном смысле функциями. Непрерывный СП
является почти наверное непрерывным в каждой точке
,
. Но не наоборот в общем случае.
Непрерывность в смысле сходимости по вероятности называется стохастической непрерывностью; это самый слабый из рассматриваемых видов непрерывности.
СП называется стохастически непрерывным в точке
, если
.
Наиболее важной является среднеквадратическая непрерывность.
СП называется среднеквадратически (с.к.-) непрерывным в точке
, если
.
СП называется с.к.-непрерывным на Т, если он непрерывен в каждой точке
.
Теорема. Для с.к.-непрерывности СП в точке необходимо и достаточно, чтобы матожидание было непрерывно в , а корреляционная функция непрерывна в точке .
Из теоремы сразу следует, что должна быть непрерывной.
Чтобы исследовать с.к.-непрерывность СП достаточно исследовать непрерывность ее моментных характеристик.
Пример. Пуассоновский процесс.
Пуассоновский процесс имеет следующий физический смысл: при всяком
величина
численно равна количеству событий из простейшего потока интенсивности
, произошедших к моменту времени
.
При каждом сечение
имеет распределение Пуассона с параметром
:
СП сходится по вероятности , но реализации разрывны. Это происходит потому, что разрывы на каждой реализации в своих точках, и вероятность того, что разрыв будет именно в данной точке
равна 0.
Дифференцируемость СП
СВ называется с.к.-производной СП
в точке
, если выполняется
.
Если предел существует, то является с.к.-дифференцируемым в точке
. Если
дифференцируем в каждой точке
, то говорят, что
с.к.-дифференцируем на интервале
, а семейство СВ
называется с.к.-производной СП
на
.
Теорема. Критерий с.к.-дифференцируемости.