Характеристики в плоскости годографа скорости
Определим изменение скорости вдоль характеристик в физической плоскости и плоскости годографа (рис. 5.4). Пусть в физической плоскости для некоторой точки А (рис. 5.4, а) известны значение и направление скорости потока 
.
|
|
Рис. 5.4. Характеристики:
а – в физической плоскости; б – в плоскости годографа
Тогда в плоскости годографа скорости ( 
) точке А будет соответствовать точка 
(рис. 5.4, б). При перемещении вдоль характеристики первого семейства в плоскости XОY концы векторов скорости в плоскости опишут кривую 
, а для характеристики второго семейства – кривую 
Характеристики в плоскости располагаются в области, ограниченной двумя окружностями, описанными из начала координат, радиусами 
и 
и определяющими границы диапазона сверхзвуковых скоростей.
Чтобы найти уравнение характеристик в плоскости годографа скорости воспользуемся уравнением (5.4), которому должны удовлетворять составляющие скорости сверхзвукового потока газа.
Рассматривая изменение скорости вдоль характеристик y = y(x) запишем очевидные соотношения:
(5.13)
где 
– тангенс угла наклона касательной к характеристике в плоскости XY. Тогда из соотношений (5.13) имеем следующее:
, 
. (5.14)
Из условия потенциальности течения следует, что 
. После подстановки уравнения (5.14) в выражение (5.4) с учетом потенциальности получаем
×
× 
. (5.15)
Используя свойство корней квадратного уравнения (теорему Виета) для характеристик в плоскости потока
и 
,
можно убедиться, что множитель перед 
равен 
Вдоль характеристик первого семейства в физической плоскости, когда 
, этот множитель равен 
, а вдоль характеристик второго семейства, когда 
, он равен 
. В общем случае для характеристик обоих семейств этот множитель равен
.
Таким образом, в уравнении (5.15) выражение в квадратных скобках перепишется в виде 
. Произведя дальнейшие преобразования уравнения (5.15) с использованием выражений для корней квадратного уравнения, найдем отношение приращений скоростей 
вдоль характеристик:
.
Анализ полученного выражения показывает, что для характеристик первого семейства, где 
, а для второго семейства ( ) – 
. Таким образом, получаем зависимости для расчета изменения скорости течения газа вдоль характеристик в плоскости потока, которые имеют вид
(5.16)
Зависимости (5.16) показывают, что характеристики в физической плоскости и в плоскости годографа скорости перпендикулярны друг другу. Характеристики первого семейства в плоскости XY перпендикулярны характеристикам второго семейства в плоскости 
и наоборот. Используя дифференциальное уравнение (5.12) для характеристик в плоскости потока, можно записать следующее:
. (5.17)
Вдоль характеристик в физической плоскости составляющие вектора скорости потока удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению в переменных 
. Поэтому для любых безвихревых течений газа характеристики в плоскости годографа скорости имеют всегда один и тот же вид и могут быть заранее рассчитаны (в физической плоскости XY характеристики для различных задач различны).
Примечание: правая часть уравнения (5.17) не зависит от переменных x, y.
Получим уравнение характеристик в плоскости годографа в интегральном виде. Используя рис. 5.3, можно получить
, 
,
или
. (5.18)
Произведем замену 
и 
через 
и 
. Так как 
и 
, то 
, 
, и уравнение (5.18) после преобразований запишем следующим образом:
.
|
равна 
, поэтому 
. Представив скорость звука как 
, имеем следующее: 
.
После интегрирования, учитывая, что 
получим уравнение характеристик в плоскости годографа скорости в конечном виде:
. (5.19)
В этом уравнении число Маха может изменяться в пределах 
, что соответствует изменению скорости от до .
Кривые, описываемые этим уравнением, называются эпициклоидами. Через каждую точку плоскости проходит одна эпициклоида первого семейства и одна второго семейства. Задавая различные значения постоянной C, можно один раз вычертить сетку характеристик в плоскости годографа скорости и затем использовать ее при решении задач различного плана.
Таким образом, с помощью метода характеристик можно решать любые краевые задачи для сверхзвуковых потенциальных течений газа, если только найдены характеристики в плоскости XY течения газа и установлено их соответствие характеристикам в плоскости годографа . Таким образом, существо решения газодинамических задач методом характеристик состоит в поиске характеристик в плоскости течения газа.