Этап 1. Отделение корней

Создадим таблицу значений функции F(x) = lnx-2+x на отрезке [0,5; 7,5] в виде последовательных значений x=x_нач+i·h (где i=0,1,…,20; h=(7,5-0,5)/20=0,35) и соответствующих значений функции F(x).

Сначала введем заголовки таблицы в соответствующие клетки:

B1‘Решение алгебраического уравнения

Скопируем из таблицы вариантов запись уравнения и поместим ее как графический объект следом за введенным текстом.

B2‘Иванов И.И., группа ЗСВ-2

A3‘Отделение корней уравнения

Введем исходные данные для построения таблицы:

A4‘Хn= B40,5 C4‘Хk= D47,5 E4‘H= F4=(D4-B4)/20

Создадим начальные клетки таблицы значений x и F(x):

A5‘X B5‘F A6=B4 B6=ln(A6)-2+A6 A7=A6+$F$4

Скопируем клетку A7 в диапазон клеток A8:A26 и клетку B6 в диапазон клеток B7:B26.

Построим график функции F(x) по значениям, полученным в таблице (вставка, точечная).

В результате получим картинку, изображенную на следующей странице.

	A	B	C	D	E	F	G
		Решение алгебраического уравнения lnx-2+x=0
		Иванов И.И., группа ЗСВ-2
	Отделение корней уравнения
	Хn=	0,5	Хk=	7,5	H=	0,35
	X	F(x)
	0,50	-2,193147
	0,85	-1,312519
	1,20	-0,617678
	1,55	-0,011745
	1,90	0,541854
	2,25	1,060930
	2,60	1,555511
	2,95	2,031805
	3,30	2,493922
	3,65	2,944727
	4,00	3,386294
	4,35	3,820176
	4,70	4,247563
	5,05	4,669388
	5,40	5,086399
	5,75	5,499200
	6,10	5,908289
	6,45	6,314080
	6,80	6,716923
	7,15	7,117112
	7,50	7,514903

Наблюдая полученные таблицу и график, можно сделать следующие выводы:

а) на заданном промежутке [0,5;7,5] имеется 1 корень;

б) корень расположен в интервале (1,55; 1,90). Т.е. А=1,55; В=1,9.

Этап 2. Уточнение корней

Проведем уточнение корня уравнения lnx-2+x=0 на интервале 1,55<х<1,90, воспользовавшись методом простых итераций.

1) Уравнение преобразуем к виду x = φ(х):

lnx-2+x=0

Þ

C(lnx-2+x) + x = x

,

т.е. φ(х) = C(lnx-2+x)+x;

2) Определим значение С, обеспечивающее сходимость вычислительного процесса метода простых итераций. Как видно из графика, полученного на этапе отделения корней, функция F(x) в точке пересечения с осью ОХ, т.е. в окрестности искомого корня уравнения, имеет нарастающий характер. Следовательно, параметр С должен находиться внутри промежутка .

Так как , то . Вычислим эту величину для двух разных значений х=1,55 и х=1,90, полученных на этапе отделения корней, и обозначим полученные значения С1 и С2:

D15‘Вычисление константы С

D16‘C1= E16=-2*A9/(1+A9) D17‘C2 E17=-2*A10/(1+A10)

Окончательное значение С определим как середину меньшего по длине интервала (С1, 0) или (С2, 0). В нашем случае это будет интервал (С1, 0):

D18‘C= E18= E16/2 .

3) Вносим заголовок таблицы метода простых итераций:

D20‘X D21‘j(x) D22‘R D23‘N .

4) Сформируем таблицу, реализующую вычислительный процесс метода простых итераций.

В качестве начального приближения возьмем одну из границ промежутка, найденного на этапе отделения корней, например, x₀=1,90. В первую строку таблицы внесем:

D21=A10 E21=$E$18*(LN(D21)-2+D21)+D21 F21=ABS(D21-E21) G210

В клетке D22реализуем вычислительную формулу метода простых итераций x_k = φ (x_k-1): D22=E21 .

Скопируем клетку E21 в E22.

Выполним вычисление ½x_k - x_k-1½: F22=ABS(D22-D21) .

Скопируем диапазон клеток D22:G22 на три-четыре или более строк ниже, пока в столбце F (R - ошибка, погрешность) не появится число, меньшее 0,0001. Соответствующее ему значение х (в нашем примере значение клетки D24) и будет решением задачи.

Окончательный вид EXCEL-таблице приведен ниже:

	A	B	C	D	E	F	G
		Решение алгебраического уравнения lnx-2+x=0
		Иванов И.И., группа ЗСВ-2
	Отделение корней уравнения
	Хn=	0,5	Хk=	7,5	H=	0,35
	X	F(x)
	0,50	-2,193147
	0,85	-1,312519
	1,20	-0,617678
	1,55	-0,011745
	1,90	0,541854
	2,25	1,060930
	2,60	1,555511
	2,95	2,031805
	3,30	2,493922
	3,65	2,944727		Вычисление константы C
	4,00	3,386294		С1=	-1,215686
	4,35	3,820176		С2=	-1,310345
	4,70	4,247563		С=	-0,607843
	5,05	4,669388		Уточнение корня
	5,40	5,086399		x	φ(x)	R	N
	5,75	5,499200		1,9000000	1,5706378	0,32936217
	6,10	5,908289		1,5706378	1,5571926	0,01344527
	6,45	6,314080		1,5571926	1,5571457	0,00004688
	6,80	6,716923		1,5571457	1,5571456	0,00000008
	7,15	7,117112
	7,50	7,514903		Результат:	х=	1,5571457

Результат решения:

- результат отделения корней: А=1,55; В=1,90. При этом F(A)=-0,011745 < 0, F(B)=0,541854 > 0;

- исходное уравнение lnx – 2 + x = 0 преобразовано к виду x = С (lnx – 2 +x) + x , где С=-0,607843 обеспечивает сходимость вычислительного процесса;

- при заданной точности ε=0,0001 определен корень исходного уравнения х=1,5571457. Это значение достигнуто на 3-й итерации.

Таблица индивидуальных заданий

N вар.	Уравнение	Промежуток		N вар.	Уравнение	Промежуток
хнач	хкон		хнач	хкон
							-6
		-3
		-9,5	0,5				-10
		-1,5	4,5				-1
		-1
		-9	-2
		-12	-10
		-2
		-5
							-6
							-1
		-5					-10
		-1					-3
							-1

1.5. Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются трансцендентными?

2. Назовите два этапа решения трансцендентных уравнений в порядке их выполнения. В чем заключается идея первого этапа?

3. Запишите вывод формулы нахождения координаты точки Р в методе хорд. Запишите условие отбора отрезка, где находится искомый корень уравнения.

4. Почему в методе хорд нельзя использовать в качестве критерия окончания вычислительного процесса выполнение неравенства B-A< e?

5. Охарактеризуйте различие геометрической интерпретации метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона. Какой из перечисленных методов имеет лучшую сходимость, а какой более прост в реализации?

6. Запишите итерационную формулу модифицированного метода Ньютона.

7. Запишите условие сходимости метода простых итераций. Преобразуйте следующие уравнения к итерационному виду, для которого выполнялось бы условие сходимости

1) x²+2х=0 на промежутке (-2.5, -1.5);

2) ln x = 2х² – 5х-3 на промежутке (1.5, 3.0);

3) x² – 3x + 2 = 0 на промежутке (1.6, 2.8).

ЗАДАЧА 2. Аппроксимация зависимостей с помощью