Де5.функциональный анализ
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества 
равна 
0
Решение:
В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.
Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества 
и 
. Тогда количество целых значений 
,принадлежащих пересечению множеств А и В равно 4.
Тема: Метрические пространства
Функция 
заданная на множестве целых чисел …
| | удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Тема: Отображение множеств
Прообразом множества 
при отображении 
является 
Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: 
и 
.Тогда количество целых значений х , принадлежащих объединению множеств А и В, равно …8
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
Равна 
.
Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть для ее определения из площади круга радиуса 4 нужно вычесть площадь круга радиуса 2. Следовательно, мера этого множества равна 
Тема: Метрические пространства
Функция 
, где 
и 
, …. не удовлетворяет аксиоме треугольника
не удовлетворяет аксиоме симметрии
не удовлетворяет аксиоме тождества
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства
Решение:
Функция не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
Тема: Отображение множеств
Биективное отображение отрезка 
на отрезок 
может быть задано функцией … 
Тема: Метрические пространства
Расстояние между функциями 
и 
пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке 
, с метрикой 
, равно…3
Решение: 
Тема: Отображение множеств
Отображение, действующее из отрезка на действительную числовую ось и имеющее обратное отображение, может быть задано функцией … 
Решение:
Функция, действующая из отрезка на действительную числовую ось и имеющая обратную, должна быть непрерывной и монотонной на . Например, это функция
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества 
равна … 
Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:
Вычислим ее с помощью определенного интеграла. 
Следовательно, мера этого множества равна 
Тема: Отображение множеств
Отображение 
действует по правилу: 
Тогда 
имеет вид … 
Решение:
Так как 
при 
и 
при 
,то 
Тема: Метрические пространства
Функция , где и , …
| | не удовлетворяет аксиоме треугольника | ||
| не удовлетворяет аксиоме симметрии | |||
| не удовлетворяет аксиоме тождества | |||
| удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Решение:
Функция , где и , не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: 
, 
и 
. Тогда число элементов множества 
равно …
| 5 | |
Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество 
. Теперь выполним объединения 
, в результате которого получится множество чисел 
. Таким образом, множество 
содержит пять элементов.
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества 
, где А= 
и 
равна …
| |  | ||
Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Мера плоского множества 
равна площади соответствующей фигуры, то есть круга с радиусом 1. Так как круг целиком лежит внутри квадрата, то искомая мера равна
Тема: Элементы теории множеств
Даны множества: 
и 
. Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …
| 3 | |
Решение:
. Определим множество 
. Получили множество, состоящее из трех элементов.
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества 
равна …
| |  | ||
 | |||
Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:
Вычислим ее с помощью определенного интеграла. 
Следовательно, мера этого множества равна 
.
Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: и . Тогда количество целых значений 
, принадлежащих пересечению множеств 
и 
, равно …
| 4 | |
Решение:
Пересечением множеств и является промежуток [-1; 3), который содержит четыре целых числа.
Тема: Метрические пространства
Функция , где и , …
| | не удовлетворяет аксиоме треугольника | ||
| не удовлетворяет аксиоме симметрии | |||
| не удовлетворяет аксиоме тождества | |||
| удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение 
. Тогда 
имеет вид …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
По определению прообраза множества 
.
Тогда 
Тема: Элементы теории множеств
Даны множества: 
, 
. Тогда число целых чисел, принадлежащих их объединению равно …
| 9 | |
Решение:
.
. Таким образом, объединение содержит девять элементов.
Тема: Мера плоского множества
Плоская мера множества 
равна …
| | |||
Тема: Метрические пространства
Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …
| | |||
| – 2 | |||
 |
Тема: Отображение множеств
Обратимым на 
является отображение …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Отображение 
называется обратимым, если существует отображение 
такое, что 
, где 
– тождественные отображения на множествах 
и 
соответственно.
По критерию обратимости: отображение будет обратимым, если оно инъективно и сюръективно.
Отображение на отрезке не инъективно, например, для точек 
и 
образы совпадают: 
.
Отображения и также не инъективны, например, для точек 
и 
в обоих случаях 
. Отображение 
инъективно (для 
) и сюръективно (отрезок переходит в отрезок 
); обратным для него будет отображение 
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …
| | |||
 | |||
 | |||
Решение:
В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.
Тема: Отображение множеств
Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …
| | | ||
 | |||
 | |||
 |
Тема: Элементы теории множеств
Даны множества: и . Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …
| 3 | |
Решение:
. Определим множество . Получили множество, состоящее из трех элементов.
Тема: Отображение множеств
Обратимым на является отображение …
| | | ||
| | |||
| | |||
| |
Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …
Тема: Метрические пространства
Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …
| |
Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: 
, 
и 
. Тогда число элементов множества 
равно …
| 1 | |
Решение:
Определим множество 
и выполним операцию пересечения 
. В результате получится множество 
, состоящее из одного элемента.
Тема: Отображение множеств
Прообразом множества 
при отображении 
является …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Прообразом множества при отображении являются те точки , которые при данном отображении попадают в отрезок , то есть множество 
.
Тема: Мера плоского множества
Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси 
в плоскости 
равна …
| | |||
| бесконечности | |||
| несчетна |
Решение:
Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна нулю.
Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками 
и 
в метрике 
, где и равно 4