Развитие понятия натурального числа

Рассматривая вопрос формирования понятия натурально­го числа у детей,нужно иметь четкое представление о разви­тии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе.Изу­чение истории математики,в частности периода ее зарожде­ния,дает возможность понять основные закономерностивозникновения первых математических понятий: о множе­стве,числе, величине,об арифметических действиях,систе­мы счисления и др. и использовать эти закономерности с уче­том передового педагогического опыта и современных иссле­дований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математи­ки,понятие натурального числа возникло на ранних стадияхразвития человеческого общества, когда в связи с практи­ческой деятельностью возникла потребность как-то количе­ственно оценивать совокупности.Сначала количество эле­ментов в множествах не отделялось от самих множеств,вос­принималось и удерживалось в представлении человека совсеми качествами,пространственными и количественнымипризнаками.Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности(все или не все предметы есть),амог сказать, каких именно предметов не хватает.Часто совокупность удерживалась в представлении именно пото­му,что отдельные предметы четко отличались по своим при­знакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло со­бой также отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов.Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые со­вокупности,но и создавать совокупности определенного ко­личества.Для этого предметы определенной совокупностипо одному сопоставлялись непосредственно с предметами другой совокупности или непосредственно с помощью не­которого эталона — зарубок,узелков, части тела человека и

др.Потом с помощью такого же сопоставления создаваласьновая совокупность.Так практически человек овладевал опе­рацией установления равенства,взаимно-однозначного со­ответствия.

Существенным в этом процессе является то,что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартныммножеством,например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось.Человек не называл число,а говорил: столько,сколько пальцев на руке, и т.д.Этот период в истории развития натурального числа называ­етсястадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы,потом переходили к запяс­тью,локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки,после чего,если совокупность не исчерпывалась,шли в обратномпорядке.У островитян Торресового пролива счет с помощью частей человеческого тела был возможен до 33. Если сово­купность имела больше33 элементов,использовали палоч­ки.Именно в этом случае, когда исчерпывалась возмож­ность использования частей тела,начинали пользоваться па­лочками(причем "все палочки были приблизительноодинаковые).Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно,она сначалабыла нужна не для индивидуализации чисел, выделения каж­дого отдельного числа, а лишь для сравнения,установлениявзаимно-однозначного соответствия между предметами обе­их совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек ис­пользовал камешки или зерна маиса.Число воспринималоськак то общее, что имеют между собой равночисленные со­вокупности.Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитиипонятия числа. Существенной чертой этого способа являетсято,что все пересчитываемые множества отображаются с по­мощью одной системы,приведенной с ними в соответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественникМ.М.Миклухо-Маклай(1846—1888) описывает жизнь па­пуасов— жителей Новой Гвинеи, любимый способ счетакоторых состоял в том,что папуас загибает один за другим пальцы руки, при этом произносит определенный звук, на­пример«бе, бе, бе,...».Досчитавши до 5, он говорит«ибон-бе»(рука), потом загибает пальцы другой руки,снова по-

вторяет«бе, бе, бе, ...»,пока не дойдет до «ибон-али»(две руки).Тогда он идет дальше, пока не дойдет до«самба-али»(две ноги). Если нужно считать дальше,папуас пользуетсяпальцами рук и ног кого-нибудь другого.

В процессе развития общества все больше и больше сово­купностей приходилось пересчитывать,простое установле­ние равночисленности и счета на пальцах уже не могло удов­летворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно боль­ших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натуральногочисла связан с зарождением системы счисления,которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой,или счетом с помо­щью чисел-совокупностей.Идея считать группы была под­сказана самой жизнью:некоторые предметы всегда встреча­ются на практике постоянными группами (парами,тройками, десятками,пятерками).

У туземцев Флориды«на-куа» означает10 яиц, «на-бана-ра»— 10 корзин с едой,но отдельно«на», которому бы соответствовало число 10, не используется.На одном из ди­алектов индийцев западной части Канады слово «тха»озна­чает3 вещи, «тхе» —3 раза, «тха-тоэн»— в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, у нихнет.Наличие в определенных совокупностях именно этойчасти показывает,что люди уже начинают примечать и ото­бражать в своем языке группы, имеющие общие свойства.На этой стадии развития счета не каждой группе приписываетсячисло,а только те группы являются числами-совокупностя­ми,которые часто встречаются в хозяйственной или другойдеятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловыхчисел.Эту стадию развития числовых представлений пере­жило все человечество.Во всех языках,в том числе и сла­вянском,есть такие грамматические формы, как единич­ная,двойственная и множественная.Слово, которое обозна­чает количество,имеет различное значение в зависимости от того,идет ли речь об одном, двух или большем количествепредметов.В некоторых языках есть особая форма тройствен­ности.Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития,когда человечеством были освоены только числа«один»,«два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становит­ся мерой для других,своеобразным эталоном. С этой груп-

пой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других) постепеннопривело к тому, что позднее начала осознаваться количе­ственная сторона этой группы. Количественная характерис­тика группы предметов постепенно приобретает самостоя­тельное значение. Так возникло понятие числа и его назва­ние,т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовалисьпрежде всего для практических целей людей:счет скота,шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Так,например, воз­никло слово-числосорок.В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль.Корень словасорок,илисоро-чок,тот же самый, что и в слове сорочка.На шубу шло 40 штук соболей. Известно,что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок,илисорочок,соболей составлялицелую шубу и также были единицей ценности.

Первые числа были своеобразными«островами»,опреде­ленными ориентирами в счете. Счет велся пятерками,десят­ками,дюжинами некоторых предметов, т.е.числа-совокуп­ности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике.Узловые числа— это числа,которые имеютиндивидуальные,не раскладывающиеся на составные чис­ла,названия. Остальные числа называют алгорифмическими.Они возникли намного позже и совершенно по-другому.Ал-горифмические числа появились в результате операций сузловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.

Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для ха­рактеристики определенного способа действий с конкрет­ным множеством.Так, в речи индейцев Северной Америки,а также племен Британской Колумбии выкладывание пер­вых двух десятков предметов не сопровождается этими сло­вами-классификаторами.А счет последующих единиц сло­весно оформляется как результат действия. Например,число 26обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть».Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратныхдесяти.Таким образом,эти термины существуют лишь для того,чтобы размещать по разрядам единицы, которые идут за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими,а двигательными.Следы этого сохранились во многих язы­ках,в том числе и в русском языке.Так, числа от одиннад­цати до девятнадцати произносятся как соответствующее чис-

ло единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т.д. В этом случае частицу наследует понимать имен­но как положенное на. Позднее возникли арифметическиеоперации.

Постепенно определился последовательный ряд натураль­ных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чи­сел играла операция сложения(прибавления),хотя иногдаиспользовалось и вычитание,еще реже умножение.Особен­но это прослеживается в римской нумерации:VI=5+1;ХС=100—10и т.д. Образование алгорифмических чисел на основе использования арифметических операций нашло от­ражение в названиях некоторых чисел в украинском,бело­русском,французском и других языках.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был одно­родным и бесконечным.Долгое время он был ограниченным(конечным).Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12,и 40 и др. Наибольшее освоенное число натуральногоряда,которое граничило с бесконечностью,часто приобре­тало особый ореол необыкновенного и, очевидно,было ос­новой для возникновения запретов, связанных с этими чис­лами.Некоторые из этих поверий сохранились до настояще­го времени, такими числами были:7, 13, 40 и др.

Число40 в легендах многих восточных народов играетособую роль. Выражениесорок сороков, часто используемоев русском языке,является обозначением очень большого,бесконечно большого числа.

Что касается счета сороками, то есть и еще одно предпо­ложение,что это исходит от счета по суставам пальцев.Си­бирские звероловы считали большим пальцем по двум сус­тавам остальных четырех пальцев.Таким образом досчитыва­ли до сорока.Использование третьего сустава в этом процессесчиталось неудобным.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным.Натуральных чисел бес­конечно много, среди них нет наибольшего.Какое бы боль­шое число мы ни взяли, если прибавим к нему единицу, тополучим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом ос­мыслении арифметики.

Упражнения для самопроверки

числа

Понятие натурального... возникло на заре развития человеческого обще-

количество множества

числа качества

ства. Сначала человек научился отделять ...как основное качество ... от других ка­честв(пространственных и количествен­ных).

На этой стадии развития в понятии ...отражались свойства,... готовых(стандарт­ных)множеств.

однозначное считать

ручной

натуральных

узловыми алгорифмические

В практической деятельности человеку
приходилось сравнивать множества,уста­
навливать взаимно-... соответствие,т.е

При этом широко использовались части собственного тела (пальцы рук), отсюда иназвание...счет.

Числа-совокупности были прообразами... чисел.Первые натуральные числа былиостровками и называются...числами.... чис­ла появились как результат операций с уз­ловыми числами.

натуральных

Постепенно определился последова­тельный ряд... чисел —натуральный ряд.

§ 3. Основные математические понятия

Как и любая наука,математика имеет свои основные по­нятия,которыми оперирует:множество,число, счет,вели­чина,форма и др. Исходным содержанием большинства ма­тематических понятий служат реальные предметы и явления окружающей жизни и деятельности людей.

Основное понятие в математике— понятие множества.Множество— это совокупность объектов, которыерассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами:мно­жество звезд на небе,растений, животных вокруг него,множество разных звуков,частей собственного тела. Мно­жество характеризуется различными свойствами,т.е. мно­жество задано некоторыми характеристиками.Под этими ха­рактеристиками подразумеваются такие свойства,которы­ми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству,и не владеет ни один предмет,который не при­надлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом.Множество в отличие от неопределенной множественностиимеет границы и может быть охарактеризовано натураль-

ным числом. В таком случае считают,что число обозначаетмощность множества.

В начале развития счетной деятельности сравнение мно­жеств осуществляется поэлементно,один к одному.Элемен­тами множестваназывают объекты, составляющие множе­ства.Это могут быть реальные предметы(вещи, игрушки,рисунки),а также звуки,движения, числа и др. Сравниваямножества,человек не только выявляет равномощность мно­жеств,но и отсутствие у множества того или другого эле­мента,той или другой его части. Есть два способа определе­ния мощности множества:первый — пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой— вы­деление характерологических особенностей множества.

Элементами множества могут быть не только отдельныеобъекты,но и их совокупности.Например, при счете пара­ми,тройками, десятками.В этих случаях элементами множе­ства выступает не один предмет,а два, три, десять— сово­купность.

Основными операциями с множествами являются:объе­динение,пересечениеивычитание.

Объединением(суммой)двух множеств называют третьемножество,которое включает все элементы этих множеств.При этом сумма множеств не всегда равняется сумме чиселэлементов множеств. Она равна сумме чисел элементов толь­ко тогда, когда в обоих множествах нет общих элементов.Если таковые есть,то в сумму они включаются только одинраз.Например, в загадке «Два отца и два сына.Сколько ихвсего?»видим пример объединения множеств, когда сумма элементов не равна сумме чисел. Поскольку один и тот жечеловек включается дважды (и в первое,и во второе множе­ство),он считается один раз. Или другой пример:чтобы определить количество дисциплин,которые изучаются уча­щимися педколледжа в семестре,необходимо из расписаниякаждого дня сделать выборку: ко множеству предметов,ко­торые изучают учащиеся в понедельник,добавить не все уроки последующих дней недели,а лишь те, которые не назывались в понедельник.Таким образом,количество пред­метов будет меньше,чем общее количество уроков в неде­лю,так как есть предметы,повторяющиеся в разные дни.

Действия с множествами лучше всего изобразить графи­чески.Так, на рисунке1 изображено объединение множеств.

Пересечениемдвух множеств называется множество,ко­торое состоит из их общих элементов. На рисунке 2 заштри­хованная часть является пересечением множеств. Так,на-

Рис.2

Рис.3

Рис.1

пример, если одно множество характеризуется по признаку формы (различные треугольники), а второе множество — по цвету (красные геометрические фигуры), то объединением этих множеств будут красные треугольники.

При вычитании двух множеств получаем третье множество, называемое разностью. Разность включает элементы первого множества, не принадлежащие второму. На рисунке 3 зашт­рихованная часть является разницей двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются та­кие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощ-ное и неравномощное, одно- двухэлементное, пустое множе­ство, часть множества, или подмножество. Дети раннего и дошкольного возраста знакомятся только с конечными, т.е. имеющими границы, множествами.

Счет — первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего следует подчерк­нуть, что это есть установление взаимооднозначного соот­ветствия между двумя множествами. В истории развития че­ловечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночис-ленность (равенство) или не равночисленность (столько же, меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве од­ного из множеств стал использовать числовой ряд.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не являет­ся постоянной характеристикой, оно относительно к той еди­нице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами — результат будет разный).

Понятие величина в математике рассматривается как ос­новное. Возникло оно в глубокой древности и на протяже­нии истории развития общества подвергалось ряду обобще­ний и конкретизации. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же

случае мы сужаем понятие величина и будем характеризовать им только размер предметов.

Величина предмета — это его относительная характерис­тика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина явля­ется свойством предмета, воспринимаемым различными ана­лизаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаще всего величина предмета воспринимается одно­временно несколькими анализаторами: зрительно-двигатель­ным, тактильно-двигательным и т.д.

Величина предмета, т.е. размер предмета, определяется только на основе сравнения. Нельзя сказать, большой это или маленький предмет, его только можно сравнить с дру­гим. Восприятие величины зависит от расстояния, с которо­го предмет воспринимается, а также от величины предмета, с которым он сравнивается (рис. 4). Чем дальше предмет от того, кто его воспринимает, тем он кажется меньшим, и наоборот, чем ближе — тем кажется большим.

Рис.4

Характеристика величины предмета зависит также от рас­положения его в пространстве. Один и тот же предмет может характеризоваться то как высокий (низкий), то как длинный (короткий). Это зависит от того, в горизонтальном или вер­тикальном положении он находится. Так, на рисунке 5, а предметы расположены в вертикальном положении и харак­теризуются как высокий и низкий, а на рисунке 5, б эти же самые предметы характеризуются как длинный и короткий.

Величина предмета всегда относительна, она зависит от того, с каким предметом он сравнивается. Сравнивая пред­мет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а срав­нивая этот же самый предмет с большим, называем его мень­шим. Данное положение представлено на рисунке 6.

Итак, величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями: сравнимость, изменчивость и отно­сительность.

Величина предмета определяется человеком только в срав­нении с другой величиной — мерой. Мера является этало-

Рис.5

А )

Рис.6

ном величины. В качестве эталонов величины выступают наши представления об отношениях между предметами и обозна­чаются словами, указывающими на место предмета среди других(большой,маленький,высокий, длинный,короткий, толстый,тонкий и т.д.).

Начальному выделению величины,возникновению эле­ментарных представлений о ней способствуют предметныедействия,включающие различные виды непосредственногосопоставления объектов между собой по их величине(на­кладывание,прикладывание,приставление),а также опос­редованное сравнение с помощью измерения.

Измерение— один из видов математической деятельно­сти.С помощью измерения определяется непрерывная ве­личина: масса,объем, протяженность.В истории развитиячеловеческого общества счет и измерение были, конечно,самыми первыми видами математической деятельности,тесно связанными с элементарными потребностями чело­века,и прежде всего с определением площадей земельныхучастков,вместимости сосудов и др.

Основной момент в обучении измерению —ознакомле­ние детей с мерой.Введение измерения в программу воспита­ния в детском саду решает две цели: познакомить детей с мерой и научить измерять,сравнивать предметы по величи­не, а также показать детям зависимость между мерой,ее ве­личиной и результатом— количеством измерений. Это и под­водит детей к пониманиюфункции—основного понятия математики.Понимание функции (зависимости)между ве­личиной,мерой и результатом измерения способствует раз­витию аналитико-синтетической деятельности ребенка. Сен­сорное восприятие,на которое опирается ознакомление детей с величиной предмета, тесно переплетается с развитием у них мышления.

Классическая дидактика выделила величину и формукаксамостоятельные категории действительности.Уровень позна­ния формы весьма существен, так как на него опираются приформировании представлений о величине,пространстве и др.

Исходным содержанием понятия о форме служат реаль­ные предметы окружающей действительности.Первые пред­ставления о форме конкретных предметов дает ребенку взрос­лый,воспитатель.Однако на определенном этапе развития у ребенка возникает потребность как-то разобраться в разно­образии форм. Этот процесс осуществляется первоначально в результате уподобления одного предмета по форме друго­му.Например, дети,рассматривая какой-то предмет,гово­рят:похожий на огурчик, на морковку. Постепенно возни­кает необходимость построить некоторые доступные детямобобщения,являющиеся не чем иным,как усвоением опре­деленной классификации геометрических фигур.

Образцами— эталонами формы выступают геометричес­кие фигуры. Они являются абстрагированием от формы ре­альных предметов. С помощью геометрических фигур прово­дится анализ окружающей действительности по форме.

Благодаря исследованиям современных отечественных и зарубежных психологов и педагогов можно утверждать,что классификация геометрических фигур, воспринимаемых на чувственном опыте, осуществляется детьми при ознакомле­нии их с формой реальных предметов,что дает возможность перестроить этот чувственный опыт, сделать его более осоз­нанным.В результате этого появляется возможность опреде­ления формы предмета на основе использования фиксиро­ванных эталонов.

Восприятие ребенком окружающих предметов на первых порах еще не означает выделение им формы. Для ребенка

сначала выступает сам предмет, а не особенности его формы.Ознакомление же детей с системой геометрических фигур создает у них обобщенные представления о форме. В системегеометрических фигур сконцентрирован обобщенный и аб­страгированный опыт сенсорной деятельности людей.

Упражнения для самопроверки

математического

множество, счет

величина

явления

деятельность

совокупность

математическая

поэлементное натуральный

Основными понятиями(ключевымисловами),которыми оперирует методика ... развития детей, являются: ..., число, ..., форма, ..., отношения и др.

Исходным содержанием этих понятийчаще всего являются реальные предметы, ...окружающей жизни и... самих людей.

Множество это есть ... объектов,вос­принимаемых как одно целое.Основная ...деятельность в ранние периоды развития общества была направлена на ... сравнениедвух множеств,в последующем одним из них стал выступать... ряд чисел.